Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 8$ , $(4, 0)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = 0$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y) = \frac{d}{d x} (8)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez.

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Étape 1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 1.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 1.2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 1.2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 y y' - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 2 y y' - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 1.2.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 x + 2 y y' - 2 + \frac{d}{d x} [4 y]$

Étape 1.2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 y]$ .

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Étape 1.2.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 2 y y' - 2 + 4 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.4.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x + 2 y y' - 2 + 4 y'$

Étape 1.2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y y' + 2 x + 4 y' - 2$

Étape 1.3

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' + 2 x + 4 y' - 2 = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.5.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 y y' + 4 y' - 2 = - 2 x$

Étape 1.5.1.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y y' + 4 y' = - 2 x + 2$

Étape 1.5.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y y' + 4 y'$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y y'$ .

$2 y' y + 4 y' = - 2 x + 2$

Étape 1.5.2.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $4 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot 2 = - 2 x + 2$

Étape 1.5.2.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' y + 2 y' \cdot 2$ .

$2 y' (y + 2) = - 2 x + 2$

Étape 1.5.3

Divisez chaque terme dans $2 y' (y + 2) = - 2 x + 2$ par $2 (y + 2)$ et simplifiez.

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Étape 1.5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (y + 2) = - 2 x + 2$ par $2 (y + 2)$ .

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Étape 1.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y' (y + 2)}{2 (y + 2)} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Étape 1.5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Étape 1.5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y + 2$ .

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Étape 1.5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y + 2)}{y + 2} = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Étape 1.5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Étape 1.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.5.3.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Étape 1.5.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y + 2)} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Étape 1.5.3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- x}{y + 2} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Étape 1.5.3.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x}{y + 2} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Étape 1.5.3.3.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.3.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{x}{y + 2} + \frac{2}{2 (y + 2)}$

Étape 1.5.3.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{x}{y + 2} + \frac{1}{y + 2}$

Étape 1.5.3.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.5.3.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- x + 1}{y + 2}$

Étape 1.5.3.3.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y' = \frac{- (x) + 1}{y + 2}$

Étape 1.5.3.3.2.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (x) - 1 (- 1)}{y + 2}$

Étape 1.5.3.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (x - 1)}{y + 2}$

Étape 1.5.3.3.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.3.3.2.5.1

Réécrivez $- (x - 1)$ comme $- 1 (x - 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (x - 1)}{y + 2}$

Étape 1.5.3.3.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{x - 1}{y + 2}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x - 1}{y + 2}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 4$ sur $y = 0$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$- \frac{(4) - 1}{y + 2}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $0$ dans l’expression.

$- \frac{(4) - 1}{(0) + 2}$

Étape 1.7.3

Soustrayez $1$ de $4$ .

$- \frac{3}{0 + 2}$

Étape 1.7.4

Additionnez $0$ et $2$ .

$- \frac{3}{2}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{3}{2}$ et un point donné, tel que $(4, 0)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = - \frac{3}{2} \cdot (x - (4))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 0 = - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $y$ et $0$ .

$y = - \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.2

Simplifiez $- \frac{3}{2} \cdot (x - 4)$ .

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez les termes.

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Étape 2.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{3}{2} x - \frac{3}{2} \cdot - 4$

Étape 2.3.2.1.2

Associez $x$ et $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - \frac{3}{2} \cdot - 4$

Étape 2.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot - 4$

Étape 2.3.2.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (- 2))$

Étape 2.3.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot - 2)$

Étape 2.3.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 2$

Étape 2.3.2.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{2} + 6$

Étape 2.3.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{2} + 6$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{3}{2} x) + 6$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{3}{2} x + 6$

Étape 3