Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (y) = 5 x^{4} - 5$ , $(1, π)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = π$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\sin (y)) = \frac{d}{d x} (5 x^{4} - 5)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\cos (y) y'$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{4} - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 1.3.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.3.2.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$20 x^{3} + 0$

Étape 1.3.3.2

Additionnez $20 x^{3}$ et $0$ .

$20 x^{3}$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\cos (y) y' = 20 x^{3}$

Étape 1.5

Divisez chaque terme dans $\cos (y) y' = 20 x^{3}$ par $\cos (y)$ et simplifiez.

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Étape 1.5.1

Divisez chaque terme dans $\cos (y) y' = 20 x^{3}$ par $\cos (y)$ .

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Étape 1.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\cos (y)$ .

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Étape 1.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (y) y'}{\cos (y)} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Étape 1.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{20 x^{3}}{\cos (y)}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 1$ sur $y = π$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$\frac{20 {(1)}^{3}}{\cos (y)}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $π$ dans l’expression.

$\frac{20 {(1)}^{3}}{\cos (π)}$

Étape 1.7.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{20 \cdot 1}{\cos (π)}$

Étape 1.7.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.4.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{20 \cdot 1}{- \cos (0)}$

Étape 1.7.4.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{20 \cdot 1}{- 1 \cdot 1}$

Étape 1.7.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{20 \cdot 1}{- 1}$

Étape 1.7.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.7.5.1

Multipliez $20$ par $1$ .

$\frac{20}{- 1}$

Étape 1.7.5.2

Divisez $20$ par $- 1$ .

$- 20$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 20$ et un point donné, tel que $(1, π)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (π) = - 20 \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - π = - 20 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- 20 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - π = 0 + 0 - 20 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - π = - 20 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - π = - 20 x - 20 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $- 20$ par $- 1$ .

$y - π = - 20 x + 20$

Étape 2.3.2

Ajoutez $π$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 20 x + 20 + π$

Étape 3