Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y^{2} = 16$ , $(- 1, - 4)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 1$ et $y = - 4$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (16)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

Étape 1.2.6

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

Étape 1.3

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 0$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Soustrayez $2 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$

Étape 1.5.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ par $2 x^{2} y$ et simplifiez.

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Étape 1.5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ par $2 x^{2} y$ .

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Étape 1.5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Étape 1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Étape 1.5.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Étape 1.5.2.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.5.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Étape 1.5.2.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

Étape 1.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x^{2} y}$

Étape 1.5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2} y$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

Étape 1.5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

Étape 1.5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x^{2} y}$

Étape 1.5.2.3.2

Annulez le facteur commun à $y^{2}$ et $y$ .

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Étape 1.5.2.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{x^{2} y}$

Étape 1.5.2.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.2.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

Étape 1.5.2.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

Étape 1.5.2.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y x}{x^{2}}$

Étape 1.5.2.3.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.5.2.3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x^{2}}$

Étape 1.5.2.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

Étape 1.5.2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

Étape 1.5.2.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{- y}{x}$

Étape 1.5.2.3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y}{x}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = - 1$ sur $y = - 4$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$- \frac{y}{- 1}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $- 4$ dans l’expression.

$- \frac{- 4}{- 1}$

Étape 1.7.3

Divisez $- 4$ par $- 1$ .

$- 1 \cdot 4$

Étape 1.7.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$- 4$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 4$ et un point donné, tel que $(- 1, - 4)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 4) = - 4 \cdot (x - (- 1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 4 = - 4 \cdot (x + 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- 4 \cdot (x + 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + 4 = 0 + 0 - 4 \cdot (x + 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 4 = - 4 \cdot (x + 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 4 = - 4 x - 4 \cdot 1$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y + 4 = - 4 x - 4$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 4 x - 4 - 4$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $4$ de $- 4$ .

$y = - 4 x - 8$

Étape 3