Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y^{4}} = 2$ , $(1, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Réécrivez le côté gauche avec des exposants rationnels.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \sqrt[3]{y^{4}} = 2$

Étape 1.1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{y^{4}}$ comme $y^{\frac{4}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}} = 2$

Étape 1.2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}}) = \frac{d}{d x} (2)$

Étape 1.3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{1}{3}} + y^{\frac{4}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Étape 1.3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

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Étape 1.3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Étape 1.3.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Étape 1.3.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Étape 1.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Étape 1.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Étape 1.3.2.5.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Étape 1.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{\frac{4}{3}}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{4}{3}}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{4}{3}}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} u^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.3.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1} y'$

Étape 1.3.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} y'$

Étape 1.3.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} y'$

Étape 1.3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} y'$

Étape 1.3.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{4 - 3}{3}} y'$

Étape 1.3.3.6.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4}{3} y^{\frac{1}{3}} y'$

Étape 1.3.3.7

Associez $\frac{4}{3}$ et $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3} y'$

Étape 1.3.3.8

Associez $\frac{4 y^{\frac{1}{3}}}{3}$ et $y'$ .

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Étape 1.3.4

Simplifiez

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Étape 1.3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Étape 1.3.4.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$

Étape 1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 1.5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3} = 0$

Étape 1.6

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.6.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y^{\frac{1}{3}} y'}{3}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Étape 1.6.2

Soustrayez $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.6.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.6.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 1.6.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.6.4.1.1

Simplifiez $\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

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Étape 1.6.4.1.1.1

Associez.

$\frac{3 (4 y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.6.4.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (4 y' y^{\frac{1}{3}})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.6.4.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.6.4.1.1.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y' y^{\frac{1}{3}}}{4} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.6.4.1.1.5

Divisez $y' y^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 1.6.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.6.4.2.1

Simplifiez $\frac{3}{4} (- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ .

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Étape 1.6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.6.4.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ dans le numérateur.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.6.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{- 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.6.4.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.6.4.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{- 1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' y^{\frac{1}{3}} = \frac{- 1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.6.4.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.6.5

Divisez chaque terme dans $y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ par $y^{\frac{1}{3}}$ et simplifiez.

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Étape 1.6.5.1

Divisez chaque terme dans $y' y^{\frac{1}{3}} = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ par $y^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{y' y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.6.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.6.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' y^{\frac{1}{3}}}{y^{\frac{1}{3}}} = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.6.5.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}}{y^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.6.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.6.5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = - \frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.6.5.3.2

Multipliez $\frac{1}{y^{\frac{1}{3}}}$ par $\frac{1}{4 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$y' = - \frac{1}{y^{\frac{1}{3}} (4 x^{\frac{2}{3}})}$

Étape 1.6.5.3.3

Déplacez $4$ à gauche de $y^{\frac{1}{3}}$ .

$y' = - \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.8

Évaluez sur $x = 1$ sur $y = 1$ .

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Étape 1.8.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$- \frac{1}{4 y^{\frac{1}{3}} {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.8.2

Remplacez la variable $y$ par $1$ dans l’expression.

$- \frac{1}{4 {(1)}^{\frac{1}{3}} {(1)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.8.3

Multipliez ${(1)}^{\frac{1}{3}}$ par ${(1)}^{\frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.8.3.1

Déplacez ${(1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{4 ({(1)}^{\frac{2}{3}} {(1)}^{\frac{1}{3}})}$

Étape 1.8.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}$

Étape 1.8.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{2 + 1}{3}}}$

Étape 1.8.3.4

Additionnez $2$ et $1$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{\frac{3}{3}}}$

Étape 1.8.3.5

Divisez $3$ par $3$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 1^{1}}$

Étape 1.8.4

Simplifiez $4 \cdot 1^{1}$ .

$- \frac{1}{4}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{1}{4}$ et un point donné, tel que $(1, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - \frac{1}{4} \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = - \frac{1}{4} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - \frac{1}{4} x - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{1}{4}$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} - \frac{1}{4} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- \frac{1}{4} \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} + 1 (\frac{1}{4})$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$y - 1 = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + 1$

Étape 2.3.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Étape 2.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{x}{4} + \frac{1 + 4}{4}$

Étape 2.3.2.4

Additionnez $1$ et $4$ .

$y = - \frac{x}{4} + \frac{5}{4}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{1}{4} x) + \frac{5}{4}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{4} x + \frac{5}{4}$

Étape 3