Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{u \to 1} u^{4} - 1}{u^{3} - 1}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $u$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{u \to 1} u^{4} - lim_{u \to 1} 1}{u^{3} - 1}$

Étape 1.2

Déplacez l’exposant $4$ de $u^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{u \to 1} u)}^{4} - lim_{u \to 1} 1}{u^{3} - 1}$

Étape 1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $u$ approche de $1$ .

$\frac{{(lim_{u \to 1} u)}^{4} - 1 \cdot 1}{u^{3} - 1}$

Étape 2

Évaluez la limite de $u$ en insérant $1$ pour $u$ .

$\frac{1^{4} - 1 \cdot 1}{u^{3} - 1}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{u^{3} - 1}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{u^{3} - 1}$

Étape 3.1.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{u^{3} - 1}$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{0}{u^{3} - 1^{3}}$

Étape 3.2.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = u$ et $b = 1$ .

$\frac{0}{(u - 1) (u^{2} + u \cdot 1 + 1^{2})}$

Étape 3.2.3

Simplifiez

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Étape 3.2.3.1

Multipliez $u$ par $1$ .

$\frac{0}{(u - 1) (u^{2} + u + 1^{2})}$

Étape 3.2.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{(u - 1) (u^{2} + u + 1)}$

Étape 3.3

Divisez $0$ par $(u - 1) (u^{2} + u + 1)$ .

$0$