Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) - \cos (3 x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (3 x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Étape 2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (3 x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Étape 3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} 3 x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Étape 4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - \cos (3 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2}) - \cos (3 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{\cos (\frac{π}{2}) - \cos (3 \frac{π}{2})}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{0 - \cos (3 \frac{π}{2})}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Étape 6.1.2

Associez $3$ et $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0 - \cos (\frac{3 π}{2})}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Étape 6.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{0 - \cos (\frac{π}{2})}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Étape 6.1.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{0 - 0}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Étape 6.1.5

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Étape 6.1.6

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})}$

Étape 6.2

Divisez $0$ par $(2 x - π) (\sqrt{\cos (x)} + \sqrt{\cos (3 x)})$ .

$0$