Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to 8} {(\frac{n - 3}{n})}^{n}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(\frac{n - 3}{n})}^{n}$ comme $e^{\ln ({(\frac{n - 3}{n})}^{n})}$ .

$lim_{n \to 8} e^{\ln ({(\frac{n - 3}{n})}^{n})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(\frac{n - 3}{n})}^{n})$ en déplaçant $n$ hors du logarithme.

$lim_{n \to 8} e^{n \ln (\frac{n - 3}{n})}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{n \to 8} n \ln (\frac{n - 3}{n})}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot lim_{n \to 8} \ln (\frac{n - 3}{n})}$

Étape 2.3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (lim_{n \to 8} \frac{n - 3}{n})}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - lim_{n \to 8} 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$e^{lim_{n \to 8} n \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $n$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 3}{lim_{n \to 8} n})}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez $8 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})$ en déplaçant $8$ dans le logarithme.

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})}^{8})}$

Étape 4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${(\frac{8 - 1 \cdot 3}{8})}^{8}$

Étape 4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

${(\frac{8 - 3}{8})}^{8}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $3$ de $8$ .

${(\frac{5}{8})}^{8}$

Étape 4.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{8}$ .

$\frac{5^{8}}{8^{8}}$

Étape 4.5

Élevez $5$ à la puissance $8$ .

$\frac{390625}{8^{8}}$

Étape 4.6

Élevez $8$ à la puissance $8$ .

$\frac{390625}{16777216}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{390625}{16777216}$

Forme décimale :

$0.02328306 \dots$