Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x^{2}) + \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (5 x^{2}) + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Étape 2

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (5 x^{2})$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (5 x^{2}))}^{2} + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Étape 3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} 5 x^{2}) + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Étape 4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin^{2} (5 lim_{x \to 0} x^{2}) + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sin^{2} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + lim_{x \to 0} \sin^{2} (3 x)}{x^{2}}$

Étape 6

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (3 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sin^{2} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + {(lim_{x \to 0} \sin (3 x))}^{2}}{x^{2}}$

Étape 7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin^{2} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + \sin^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}{x^{2}}$

Étape 8

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin^{2} (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2}) + \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}{x^{2}}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin^{2} (5 \cdot 0^{2}) + \sin^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}{x^{2}}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin^{2} (5 \cdot 0^{2}) + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{\sin^{2} (5 \cdot 0) + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

Étape 10.1.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{\sin^{2} (0) + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

Étape 10.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0^{2} + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

Étape 10.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0 + \sin^{2} (3 \cdot 0)}{x^{2}}$

Étape 10.1.5

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0 + \sin^{2} (0)}{x^{2}}$

Étape 10.1.6

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0 + 0^{2}}{x^{2}}$

Étape 10.1.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0 + 0}{x^{2}}$

Étape 10.1.8

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{x^{2}}$

Étape 10.2

Divisez $0$ par $x^{2}$ .

$0$