Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} + 81} - 9}{x^{2}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{x^{2} + 81} - lim_{x \to 0} 9}{x^{2}}$

Étape 1.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} + 81} - lim_{x \to 0} 9}{x^{2}}$

Étape 1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 81} - lim_{x \to 0} 9}{x^{2}}$

Étape 1.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 81} - lim_{x \to 0} 9}{x^{2}}$

Étape 1.5

Évaluez la limite de $81$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 81} - lim_{x \to 0} 9}{x^{2}}$

Étape 1.6

Évaluez la limite de $9$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 81} - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{0^{2} + 81} - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{\sqrt{0 + 81} - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

Étape 3.1.2

Additionnez $0$ et $81$ .

$\frac{\sqrt{81} - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

Étape 3.1.3

Réécrivez $81$ comme $9^{2}$ .

$\frac{\sqrt{9^{2}} - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

Étape 3.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{9 - 1 \cdot 9}{x^{2}}$

Étape 3.1.5

Multipliez $- 1$ par $9$ .

$\frac{9 - 9}{x^{2}}$

Étape 3.1.6

Soustrayez $9$ de $9$ .

$\frac{0}{x^{2}}$

Étape 3.2

Divisez $0$ par $x^{2}$ .

$0$