Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 0} {(x + h)}^{3} - x^{3}}{h}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} {(x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} x^{3}}{h}$

Étape 2

Déplacez l’exposant $3$ de ${(x + h)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} x^{3}}{h}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} h)}^{3} - lim_{x \to 0} x^{3}}{h}$

Étape 4

Évaluez la limite de $h$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} x^{3}}{h}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{h}$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{{(0 + h)}^{3} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}{h}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{{(0 + h)}^{3} - 0^{3}}{h}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.1.1

Additionnez $0$ et $h$ .

$\frac{h^{3} - 0^{3}}{h}$

Étape 7.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{h^{3} - 0}{h}$

Étape 7.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{h^{3} + 0}{h}$

Étape 7.1.4

Additionnez $h^{3}$ et $0$ .

$\frac{h^{3}}{h}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun à $h^{3}$ et $h$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{3}$ .

$\frac{h \cdot h^{2}}{h}$

Étape 7.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.2.1

Élevez $h$ à la puissance $1$ .

$\frac{h \cdot h^{2}}{h^{1}}$

Étape 7.2.2.2

Factorisez $h$ à partir de $h^{1}$ .

$\frac{h \cdot h^{2}}{h \cdot 1}$

Étape 7.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{h \cdot h^{2}}{h \cdot 1}$

Étape 7.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{h^{2}}{1}$

Étape 7.2.2.5

Divisez $h^{2}$ par $1$ .

$h^{2}$