Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos^{2} (x) + 3 \cos (x) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{3}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{3}} 2 \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos^{2} (x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 {(lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x))}^{2} + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + lim_{x \to \frac{π}{3}} 3 \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 lim_{x \to \frac{π}{3}} \cos (x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - lim_{x \to \frac{π}{3}} 2}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 7

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{3}$ .

$\frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{3}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{3}$ pour $x$ .

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (lim_{x \to \frac{π}{3}} x) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{3}$ pour $x$ .

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 1 \cdot 2}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 9.1.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 9.1.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 9.1.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 \cos (\frac{π}{3})$ .

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + 3 (\cos (\frac{π}{3})) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 9.1.1.1.3

Réécrivez $3$ comme $- 1$ plus $4$

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) + (- 1 + 4) \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 9.1.1.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) - 1 \cos (\frac{π}{3}) + 4 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 9.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 9.1.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 \cos^{2} (\frac{π}{3}) - 1 \cos (\frac{π}{3})) + 4 \cos (\frac{π}{3}) - 2}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 9.1.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{\cos (\frac{π}{3}) (2 \cos (\frac{π}{3}) - 1) + 2 (2 \cos (\frac{π}{3}) - 1)}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 9.1.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 \cos (\frac{π}{3}) - 1$ .

$\frac{(2 \cos (\frac{π}{3}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 9.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 9.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(2 (\frac{1}{2}) - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 9.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(1 - 1) (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 9.1.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 (\cos (\frac{π}{3}) + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 9.1.5

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{3})$ est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0 (\frac{1}{2} + 2)}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 9.1.6

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{0 (\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 9.1.7

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{0 (\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 9.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{0 \frac{1 + 2 \cdot 2}{2}}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 9.1.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.9.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{0 \frac{1 + 4}{2}}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 9.1.9.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$\frac{0 (\frac{5}{2})}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 9.2

Multipliez $0$ par $\frac{5}{2}$ .

$\frac{0}{2 \cos (x) - 1}$

Étape 9.3

Divisez $0$ par $2 \cos (x) - 1$ .

$0$