Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}{1 - e^{2 x}}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} e^{x}}{1 - e^{2 x}}$

Étape 1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} e^{x}}{1 - e^{2 x}}$

Étape 1.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 0} x}}{1 - e^{2 x}}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1 - e^{0}}{1 - e^{2 x}}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{1 - e^{2 x}}$

Étape 3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{1 - e^{2 x}}$

Étape 3.1.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{1 - e^{2 x}}$

Étape 3.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{0}{1^{2} - e^{2 x}}$

Étape 3.2.2

Réécrivez $e^{2 x}$ comme ${(e^{x})}^{2}$ .

$\frac{0}{1^{2} - {(e^{x})}^{2}}$

Étape 3.2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = e^{x}$ .

$\frac{0}{(1 + e^{x}) (1 - e^{x})}$

Étape 3.3

Divisez $0$ par $(1 + e^{x}) (1 - e^{x})$ .

$0$