Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{lim_{x \to 0} {(1 + h)}^{4} - 1}{h}$

Étape 1

Évaluez la limite de ${(1 + h)}^{4} - 1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{{(1 + h)}^{4} - 1}{h}$

Étape 2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez ${(1 + h)}^{4}$ comme ${({(1 + h)}^{2})}^{2}$ .

$\frac{{({(1 + h)}^{2})}^{2} - 1}{h}$

Étape 2.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{{({(1 + h)}^{2})}^{2} - 1^{2}}{h}$

Étape 2.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = {(1 + h)}^{2}$ et $b = 1$ .

$\frac{({(1 + h)}^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Étape 2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.1.4.1

Réécrivez ${(1 + h)}^{2}$ comme $(1 + h) (1 + h)$ .

$\frac{((1 + h) (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Étape 2.1.4.2

Développez $(1 + h) (1 + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 (1 + h) + h (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Étape 2.1.4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h) + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Étape 2.1.4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Étape 2.1.4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.4.3.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{(1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Étape 2.1.4.3.1.2

Multipliez $h$ par $1$ .

$\frac{(1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Étape 2.1.4.3.1.3

Multipliez $h$ par $1$ .

$\frac{(1 + h + h + h \cdot h + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Étape 2.1.4.3.1.4

Multipliez $h$ par $h$ .

$\frac{(1 + h + h + h^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Étape 2.1.4.3.2

Additionnez $h$ et $h$ .

$\frac{(1 + 2 h + h^{2} + 1) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Étape 2.1.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(2 h + h^{2} + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Étape 2.1.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1)}{h}$

Étape 2.1.4.6

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ({(1 + h)}^{2} - 1^{2})}{h}$

Étape 2.1.4.7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1 + h$ et $b = 1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((1 + h + 1) (1 + h - 1))}{h}$

Étape 2.1.4.8

Simplifiez

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Étape 2.1.4.8.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) (1 + h - 1))}{h}$

Étape 2.1.4.8.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) (h + 0))}{h}$

Étape 2.1.4.8.3

Additionnez $h$ et $0$ .

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) ((h + 2) h)}{h}$

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2) h}{h}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2) h}{h}$

Étape 2.2.2

Divisez $(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$ par $1$ .

$(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$

Étape 2.3

Développez $(h^{2} + 2 h + 2) (h + 2)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$h^{2} h + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Étape 2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1

Multipliez $h^{2}$ par $h$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.1.1

Multipliez $h^{2}$ par $h$ .

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Étape 2.4.1.1.1

Élevez $h$ à la puissance $1$ .

$h^{2} h^{1} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Étape 2.4.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$h^{2 + 1} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Étape 2.4.1.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$h^{3} + h^{2} \cdot 2 + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Étape 2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $h^{2}$ .

$h^{3} + 2 \cdot h^{2} + 2 h \cdot h + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Étape 2.4.3

Multipliez $h$ par $h$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.4.3.1

Déplacez $h$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 (h \cdot h) + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 2 h \cdot 2 + 2 h + 2 \cdot 2$

Étape 2.4.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h + 2 h + 2 \cdot 2$

Étape 2.4.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$h^{3} + 2 h^{2} + 2 h^{2} + 4 h + 2 h + 4$

Étape 2.5

Additionnez $2 h^{2}$ et $2 h^{2}$ .

$h^{3} + 4 h^{2} + 4 h + 2 h + 4$

Étape 2.6

Additionnez $4 h$ et $2 h$ .

$h^{3} + 4 h^{2} + 6 h + 4$