Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} - 7 = 0$ , $a = 2$

Étape 1

Déterminez la dérivée de $f (x) = x^{3} - 7$ à utiliser dans la méthode de Newton.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7]$

Étape 1.3

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Étape 1.4

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$3 x^{2}$

Étape 2

Définissez la formule pour déterminer l’approximation $x_{2}$ .

$x_{2} = x_{1} - \frac{f (x_{1})}{f' (x_{1})}$

Étape 3

Remplacez la valeur de $x_{1}$ dans l’approximation suivante selon la méthode de Newton.

$x_{2} = 2 - \frac{{(2)}^{3} - 7}{3 {(2)}^{2}}$

Étape 4

Simplifiez le côté droit de l’équation pour déterminer $x_{2}$ .

$x_{2} = 1.91\overline{6}$

Étape 5

Définissez la formule pour déterminer l’approximation $x_{3}$ .

$x_{3} = x_{2} - \frac{f (x_{2})}{f' (x_{2})}$

Étape 6

Remplacez la valeur de $x_{2}$ dans l’approximation suivante selon la méthode de Newton.

$x_{3} = 1.91\overline{6} - \frac{{(1.91\overline{6})}^{3} - 7}{3 {(1.91\overline{6})}^{2}}$

Étape 7

Simplifiez le côté droit de l’équation pour déterminer $x_{3}$ .

$x_{3} = 1.91293845$

Étape 8

Définissez la formule pour déterminer l’approximation $x_{4}$ .

$x_{4} = x_{3} - \frac{f (x_{3})}{f' (x_{3})}$

Étape 9

Remplacez la valeur de $x_{3}$ dans l’approximation suivante selon la méthode de Newton.

$x_{4} = 1.91293845 - \frac{{(1.91293845)}^{3} - 7}{3 {(1.91293845)}^{2}}$

Étape 10

Simplifiez le côté droit de l’équation pour déterminer $x_{4}$ .

$x_{4} = 1.91293118$

Étape 11

Définissez la formule pour déterminer l’approximation $x_{5}$ .

$x_{5} = x_{4} - \frac{f (x_{4})}{f' (x_{4})}$

Étape 12

Remplacez la valeur de $x_{4}$ dans l’approximation suivante selon la méthode de Newton.

$x_{5} = 1.91293118 - \frac{{(1.91293118)}^{3} - 7}{3 {(1.91293118)}^{2}}$

Étape 13

Simplifiez le côté droit de l’équation pour déterminer $x_{5}$ .

$x_{5} = 1.91293118$

Étape 14

Définissez la formule pour déterminer l’approximation $x_{6}$ .

$x_{6} = x_{5} - \frac{f (x_{5})}{f' (x_{5})}$

Étape 15

Remplacez la valeur de $x_{5}$ dans l’approximation suivante selon la méthode de Newton.

$x_{6} = 1.91293118 - \frac{{(1.91293118)}^{3} - 7}{3 {(1.91293118)}^{2}}$

Étape 16

Simplifiez le côté droit de l’équation pour déterminer $x_{6}$ .

$x_{6} = 1.91293118$

Étape 17

Comme les approximations $6 t h$ et $5 t h$ sont égales à $6$ chiffres après la virgule, $1.91293118$ est l’approximation de la racine.

$1.91293118$