Calcul infinitésimal Exemples

$y = x + 6 x^{2} - 3 x^{4}$ , $(1, 4)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 4$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 6 x^{2} - 3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$1 + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $6$ .

$1 + 12 x + \frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{4}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$1 + 12 x - 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$1 + 12 x - 3 (4 x^{3})$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $- 3$ .

$1 + 12 x - 12 x^{3}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 12 x^{3} + 12 x + 1$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$- 12 {(1)}^{3} + 12 (1) + 1$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 12 \cdot 1 + 12 (1) + 1$

Étape 1.6.1.2

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$- 12 + 12 (1) + 1$

Étape 1.6.1.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$- 12 + 12 + 1$

Étape 1.6.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 1.6.2.1

Additionnez $- 12$ et $12$ .

$0 + 1$

Étape 1.6.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $1$ et un point donné, tel que $(1, 4)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = 1 \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 4 = 1 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $x - 1$ par $1$ .

$y - 4 = x - 1$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$y = x - 1 + 4$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$y = x + 3$

Étape 3