Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (x^{2})$ , $(2, \ln (4))$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = \ln (4)$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2}} (2 x)$

Étape 1.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 1.2.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2}{x^{2}} x$

Étape 1.2.2.2

Associez $\frac{2}{x^{2}}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{x^{2}}$

Étape 1.2.2.3

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.2.2.3.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

Étape 1.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.2.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Étape 1.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}$

Étape 1.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x}$

Étape 1.3

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$\frac{2}{2}$

Étape 1.4

Divisez $2$ par $2$ .

$1$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $1$ et un point donné, tel que $(2, \ln (4))$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\ln (4)) = 1 \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \ln (4) = 1 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $x - 2$ par $1$ .

$y - \ln (4) = x - 2$

Étape 2.3.2

Ajoutez $\ln (4)$ aux deux côtés de l’équation.

$y = x - 2 + \ln (4)$

Étape 3