Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 x - 2 \sqrt{x}$ , $(1, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 2 \sqrt{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{x}]$ .

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Étape 1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.3.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 1.3.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 1.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 - 2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 1.3.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 - 2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.3.10

Associez $- 2$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$3 + \frac{- 2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 1.3.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 + \frac{- 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.12

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$3 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 1.3.13.2

Annulez le facteur commun.

$3 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.13.3

Réécrivez l’expression.

$3 + \frac{- 1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$3 - \frac{1}{{(1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 - \frac{1}{1}$

Étape 1.5.1.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 1.5.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 - \frac{1}{1}$

Étape 1.5.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$3 - 1 \cdot 1$

Étape 1.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 - 1$

Étape 1.5.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$2$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $2$ et un point donné, tel que $(1, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 2 \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = 2 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $2 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = 2 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = 2 x + 2 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y - 1 = 2 x - 2$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2 x - 2 + 1$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$y = 2 x - 1$

Étape 3