Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{4} + 8 x^{2} - x$ , $(1, 8)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 8$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 8 x^{2} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} + 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $8$ .

$4 x^{3} + 16 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 16 x - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} + 16 x - 1 \cdot 1$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$4 x^{3} + 16 x - 1$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$4 {(1)}^{3} + 16 (1) - 1$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \cdot 1 + 16 (1) - 1$

Étape 1.5.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + 16 (1) - 1$

Étape 1.5.1.3

Multipliez $16$ par $1$ .

$4 + 16 - 1$

Étape 1.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.5.2.1

Additionnez $4$ et $16$ .

$20 - 1$

Étape 1.5.2.2

Soustrayez $1$ de $20$ .

$19$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $19$ et un point donné, tel que $(1, 8)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = 19 \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 8 = 19 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $19 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 8 = 0 + 0 + 19 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 8 = 19 \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 8 = 19 x + 19 \cdot - 1$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $19$ par $- 1$ .

$y - 8 = 19 x - 19$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 19 x - 19 + 8$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $- 19$ et $8$ .

$y = 19 x - 11$

Étape 3