Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\tan (5 x)}{\cos (5 x)} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \tan (5 x))}{2}}{5}$

Étape 1

Réécrivez $\tan (5 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}{\cos (5 x)} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \tan (5 x))}{2}}{5}$

Étape 2

Réécrivez $\tan (5 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}{\cos (5 x)} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2}}{5}$

Étape 3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot (\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)} \cdot \frac{1}{\cos (5 x)}) + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2}}{5}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)} \cdot \frac{1}{\cos (5 x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Multipliez $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ par $\frac{1}{\cos (5 x)}$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x) \cos (5 x)} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2}}{5}$

Étape 3.2.2

Élevez $\cos (5 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\cos^{1} (5 x) \cos (5 x)} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2}}{5}$

Étape 3.2.3

Élevez $\cos (5 x)$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\cos^{1} (5 x) \cos^{1} (5 x)} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2}}{5}$

Étape 3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (5 x)}{{\cos (5 x)}^{1 + 1}} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2}}{5}$

Étape 3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\cos^{2} (5 x)} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2}}{5}$

Étape 3.3

Associez.

$\frac{\frac{1 \sin (5 x)}{2 \cos^{2} (5 x)} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2}}{5}$

Étape 3.4

Multipliez $\sin (5 x)$ par $1$ .

$\frac{\frac{\sin (5 x)}{2 \cos^{2} (5 x)} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2}}{5}$

Étape 3.5

Pour écrire $\frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos^{2} (5 x)}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (5 x)}{2 \cos^{2} (5 x)} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2} \cdot \frac{\cos^{2} (5 x)}{\cos^{2} (5 x)}}{5}$

Étape 3.6

Multipliez $\frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)})}{2}$ par $\frac{\cos^{2} (5 x)}{\cos^{2} (5 x)}$ .

$\frac{\frac{\sin (5 x)}{2 \cos^{2} (5 x)} + \frac{\ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}) \cos^{2} (5 x)}{2 \cos^{2} (5 x)}}{5}$

Étape 3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{\sin (5 x) + \ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}) \cos^{2} (5 x)}{2 \cos^{2} (5 x)}}{5}$

Étape 4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{\sin (5 x) + \ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}) \cos^{2} (5 x)}{2 \cos^{2} (5 x)} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 5

Multipliez $\frac{\sin (5 x) + \ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}) \cos^{2} (5 x)}{2 \cos^{2} (5 x)} \cdot \frac{1}{5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Multipliez $\frac{\sin (5 x) + \ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}) \cos^{2} (5 x)}{2 \cos^{2} (5 x)}$ par $\frac{1}{5}$ .

$\frac{\sin (5 x) + \ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}) \cos^{2} (5 x)}{2 \cos^{2} (5 x) \cdot 5}$

Étape 5.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{\sin (5 x) + \ln (\frac{1}{\cos (5 x)} + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}) \cos^{2} (5 x)}{10 \cos^{2} (5 x)}$

Étape 6

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (5 x)}$ à $\sec (5 x)$ .

$\frac{\sin (5 x) + \ln (\sec (5 x) + \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}) \cos^{2} (5 x)}{10 \cos^{2} (5 x)}$

Étape 6.2

Convertissez de $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ à $\tan (5 x)$ .

$\frac{\sin (5 x) + \ln (\sec (5 x) + \tan (5 x)) \cos^{2} (5 x)}{10 \cos^{2} (5 x)}$