Calcul infinitésimal Exemples

$2 \ln (\sec (x))$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Pour tout $y = \sec (x)$ , des asymptotes verticales se trouvent sur $x = \frac{π}{2} + n π$ , où $n$ est un entier. Utilisez la période de base pour $y = s e c (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ , afin de déterminer les asymptotes verticales pour $y = \ln (\sec^{2} (x))$ . Définissez l’intérieur de la fonction sécante, $b x + c$ , pour $y = a \sec (b x + c) + d$ égal à $- \frac{π}{2}$ afin de déterminer où l’asymptote verticale se situe pour $y = \ln (\sec^{2} (x))$ .

$\sec^{2} (x) = - \frac{π}{2}$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sec (x) = \pm \sqrt{- \frac{π}{2}}$

Étape 1.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{π}{2}}$ .

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Étape 1.2.2.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$\sec (x) = \pm \sqrt{i^{2} \frac{π}{2}}$

Étape 1.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\sec (x) = \pm i \sqrt{\frac{π}{2}}$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $\sqrt{\frac{π}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$

Étape 1.2.2.4

Multipliez $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i (\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 1.2.2.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.2.5.1

Multipliez $\frac{\sqrt{π}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 1.2.2.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 1.2.2.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 1.2.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 1.2.2.5.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.2.2.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.2.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.2.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.2.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.2.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 1.2.2.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π} \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.2.2.6

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sec (x) = \pm i \frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$

Étape 1.2.2.7

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{π \cdot 2}}{2}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{i \sqrt{π \cdot 2}}{2}$

Étape 1.2.2.8

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\sec (x) = \pm \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Étape 1.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Étape 1.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Étape 1.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}, - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Étape 1.2.4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

$\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$

Étape 1.2.5

Résolvez $x$ dans $\sec (x) = \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$ .

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Étape 1.2.5.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (\frac{i \sqrt{2 π}}{2})$

Étape 1.2.5.2

The inverse secant of $arcsec (\frac{i \sqrt{2 π}}{2})$ is undefined.

Indéfini

Étape 1.2.6

Résolvez $x$ dans $\sec (x) = - \frac{i \sqrt{2 π}}{2}$ .

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Étape 1.2.6.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (- \frac{i \sqrt{2 π}}{2})$

Étape 1.2.6.2

The inverse secant of $arcsec (- \frac{i \sqrt{2 π}}{2})$ is undefined.

Indéfini

Étape 1.2.7

Indiquez toutes les solutions.

Aucune solution

Étape 1.3

Définissez l’intérieur de la fonction sécante $\sec^{2} (x)$ égal à $\frac{3 π}{2}$ .

$\sec^{2} (x) = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sec (x) = \pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$

Étape 1.4.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{3 π}{2}}$ .

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Étape 1.4.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{3 π}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$

Étape 1.4.2.2

Multipliez $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 1.4.2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.2.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3 π}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 1.4.2.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 1.4.2.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 1.4.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 1.4.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 1.4.2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 1.4.2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.4.2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.4.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.4.2.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.4.2.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 1.4.2.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π} \sqrt{2}}{2}$

Étape 1.4.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.4.2.4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{3 π \cdot 2}}{2}$

Étape 1.4.2.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$\sec (x) = \pm \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Étape 1.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.4.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Étape 1.4.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Étape 1.4.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}, - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Étape 1.4.4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

$\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$

Étape 1.4.5

Résolvez $x$ dans $\sec (x) = \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

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Étape 1.4.5.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (\frac{\sqrt{6 π}}{2})$

Étape 1.4.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.5.2.1

Évaluez $arcsec (\frac{\sqrt{6 π}}{2})$ .

$x = 1.09205895$

Étape 1.4.5.3

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 1.09205895$

Étape 1.4.5.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.5.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 1.09205895$

Étape 1.4.5.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 1.09205895$ .

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Étape 1.4.5.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.09205895$

Étape 1.4.5.4.2.2

Soustrayez $1.09205895$ de $6.2831853$ .

$x = 5.19112635$

Étape 1.4.5.5

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

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Étape 1.4.5.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.4.5.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.4.5.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.4.5.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.4.5.6

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 1.09205895 + 2 π n, 5.19112635 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.4.6

Résolvez $x$ dans $\sec (x) = - \frac{\sqrt{6 π}}{2}$ .

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Étape 1.4.6.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (- \frac{\sqrt{6 π}}{2})$

Étape 1.4.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.4.6.2.1

Évaluez $arcsec (- \frac{\sqrt{6 π}}{2})$ .

$x = 2.0495337$

Étape 1.4.6.3

La fonction sécante est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 (3.14159265) - 2.0495337$

Étape 1.4.6.4

Résolvez $x$ .

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Étape 1.4.6.4.1

Supprimez les parenthèses.

$x = 2 (3.14159265) - 2.0495337$

Étape 1.4.6.4.2

Simplifiez $2 (3.14159265) - 2.0495337$ .

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Étape 1.4.6.4.2.1

Multipliez $2$ par $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 2.0495337$

Étape 1.4.6.4.2.2

Soustrayez $2.0495337$ de $6.2831853$ .

$x = 4.2336516$

Étape 1.4.6.5

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.4.6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.4.6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.4.6.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.4.6.6

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2.0495337 + 2 π n, 4.2336516 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.4.7

Indiquez toutes les solutions.

$x = 1.09205895 + 2 π n, 5.19112635 + 2 π n, 2.0495337 + 2 π n, 4.2336516 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.4.8

Consolidez les solutions.

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Étape 1.4.8.1

Consolidez $1.09205895 + 2 π n$ et $4.2336516 + 2 π n$ en $1.09205895 + π n$ .

$x = 1.09205895 + π n, 5.19112635 + 2 π n, 2.0495337 + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.4.8.2

Consolidez $5.19112635 + 2 π n$ et $2.0495337 + 2 π n$ en $2.0495337 + π n$ .

$x = 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.5

La période de base pour $y = \ln (\sec^{2} (x))$ se produit sur $(, 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n)$ , où et $1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ sont des asymptotes verticales.

$(, 1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n)$

Étape 1.6

Déterminez la période $\frac{2 π}{| b |}$ pour déterminer où les asymptotes verticales existent. Des asymptotes verticales apparaissent chaque demi-période.

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Étape 1.6.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.6.2

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.7

Les asymptotes verticales pour $y = \ln (\sec^{2} (x))$ se produisent sur , $1.09205895 + π n, 2.0495337 + π n$ et chaque $π n$ , où $n$ est un entier. C’est la moitié de la période.

$π n$

Étape 1.8

Il n’y a que des asymptotes verticales pour les fonctions sécante et cosécante.

Asymptotes verticales : $x = π n$ pour tout entier $n$

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Asymptotes verticales : $x = π n$ pour tout entier $n$

Aucune asymptote horizontale

Aucune asymptote oblique

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 1$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = 2 \ln (\sec (1))$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Évaluez $\sec (1)$ .

$f (1) = 2 \ln (1.85081571)$

Étape 2.2.2

Simplifiez $2 \ln (1.85081571)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (1) = \ln ({1.85081571}^{2})$

Étape 2.2.3

Élevez $1.85081571$ à la puissance $2$ .

$f (1) = \ln (3.42551882)$

Étape 2.2.4

La réponse finale est $\ln (3.42551882)$ .

$\ln (3.42551882)$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 5$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f (5) = 2 \ln (\sec (5))$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Évaluez $\sec (5)$ .

$f (5) = 2 \ln (3.52532008)$

Étape 3.2.2

Simplifiez $2 \ln (3.52532008)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (5) = \ln ({3.52532008}^{2})$

Étape 3.2.3

Élevez $3.52532008$ à la puissance $2$ .

$f (5) = \ln (12.4278817)$

Étape 3.2.4

La réponse finale est $\ln (12.4278817)$ .

$\ln (12.4278817)$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 6$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $6$ dans l’expression.

$f (6) = 2 \ln (\sec (6))$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Évaluez $\sec (6)$ .

$f (6) = 2 \ln (1.04148192)$

Étape 4.2.2

Simplifiez $2 \ln (1.04148192)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f (6) = \ln ({1.04148192}^{2})$

Étape 4.2.3

Élevez $1.04148192$ à la puissance $2$ .

$f (6) = \ln (1.0846846)$

Étape 4.2.4

La réponse finale est $\ln (1.0846846)$ .

$\ln (1.0846846)$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ et les points $(1, 1.23125294), (5, 2.51994247), (6, 0.08128925)$ .

Asymptote verticale : $x = π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1.231 \\ 5 & 2.52 \\ 6 & 0.081 \end{array}$

Étape 6