Calcul infinitésimal Exemples

$k \sqrt{x} - \ln (x)$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Ajoutez $\ln (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$y \sqrt{x} = \ln (x)$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $y \sqrt{x} = \ln (x)$ par $\sqrt{x}$ et simplifiez.

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Étape 1.2.1

Divisez chaque terme dans $y \sqrt{x} = \ln (x)$ par $\sqrt{x}$ .

$\frac{y \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Étape 1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{x}$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y \sqrt{x}}{\sqrt{x}} = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Étape 1.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Étape 1.2.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.3.2.1

Multipliez $\frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Étape 1.2.3.2.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Étape 1.2.3.2.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Étape 1.2.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 1.2.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 1.2.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x^{1}}$

Étape 1.2.3.2.6.5

Simplifiez

$y = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$

Étape 2

Déterminez le domaine pour $k \sqrt{x} - \ln (x) = 0$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique du radical.

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Étape 2.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x > 0$

Étape 2.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{x}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x \geq 0$

Étape 2.3

Définissez le dénominateur dans $\frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2.4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0}$

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > 0}$

Étape 3

Pour déterminer le point final de l’expression radicale, remplacez la valeur $x$ $0$ , qui est la valeur la plus basse dans le domaine, dans $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \frac{\ln (0) \sqrt{0}}{0}$

Étape 3.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

$f (0) = Undefined$

Indéfini

Étape 4

Le point final de l’expression du radical est $(0, Undefined)$ .

$(0, Undefined)$

Étape 5

Sélectionnez quelques valeurs $x$ depuis le domaine. Il serait plus utile de sélectionner les valeurs de sorte qu’elles soient proches de la valeur $x$ du point final de l’expression radicale.

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Étape 5.1

Remplacez la valeur $x$ $1$ dans $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ . Dans ce cas, le point est $(1, 0)$ .

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Étape 5.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{\ln (1) \sqrt{1}}{1}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.1.2.1

Divisez $\ln (1) \sqrt{1}$ par $1$ .

$f (1) = \ln (1) \sqrt{1}$

Étape 5.1.2.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f (1) = 0 \sqrt{1}$

Étape 5.1.2.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (1) = 0 \cdot 1$

Étape 5.1.2.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$f (1) = 0$

Étape 5.1.2.5

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 5.2

Remplacez la valeur $x$ $2$ dans $f (x) = \frac{\ln (x) \sqrt{x}}{x}$ . Dans ce cas, le point est $(2, \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2})$ .

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Étape 5.2.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.2.2

La réponse finale est $\frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{\ln (2) \sqrt{2}}{2}$

Étape 5.3

La racine carrée peut être représentée avec les points autour du sommet $(0, Undefined), (1, 0), (2, 0.49)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & Undefined \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.49 \end{array}$

Étape 6