Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\frac{x^{4}}{{(3 x - 2)}^{3}})$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Définissez l’argument du logarithme égal à zéro.

$\frac{x^{4}}{{(3 x - 2)}^{3}} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x^{4} = 0$

Étape 1.2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Étape 1.2.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.2.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.3

L’asymptote verticale se produit sur $x = 0$ .

Asymptote verticale : $x = 0$

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 1$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \ln (\frac{{(1)}^{4}}{{(3 (1) - 2)}^{3}})$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \ln (\frac{1}{{(3 (1) - 2)}^{3}})$

Étape 2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (1) = \ln (\frac{1}{{(3 - 2)}^{3}})$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$f (1) = \ln (\frac{1}{1^{3}})$

Étape 2.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \ln (\frac{1}{1})$

Étape 2.2.3

Divisez $1$ par $1$ .

$f (1) = \ln (1)$

Étape 2.2.4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f (1) = 0$

Étape 2.2.5

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 2.3

Convertissez $0$ en décimale.

$y = 0$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 2$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \ln (\frac{{(2)}^{4}}{{(3 (2) - 2)}^{3}})$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$f (2) = \ln (\frac{16}{{(3 (2) - 2)}^{3}})$

Étape 3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (2) = \ln (\frac{16}{{(6 - 2)}^{3}})$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $2$ de $6$ .

$f (2) = \ln (\frac{16}{4^{3}})$

Étape 3.2.2.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f (2) = \ln (\frac{16}{64})$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun à $16$ et $64$ .

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Étape 3.2.3.1

Factorisez $16$ à partir de $16$ .

$f (2) = \ln (\frac{16 (1)}{64})$

Étape 3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.2.1

Factorisez $16$ à partir de $64$ .

$f (2) = \ln (\frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4})$

Étape 3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (2) = \ln (\frac{16 \cdot 1}{16 \cdot 4})$

Étape 3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (2) = \ln (\frac{1}{4})$

Étape 3.2.4

La réponse finale est $\ln (\frac{1}{4})$ .

$\ln (\frac{1}{4})$

Étape 3.3

Convertissez $\ln (\frac{1}{4})$ en décimale.

$y = - 1.38629436$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 3$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \ln (\frac{{(3)}^{4}}{{(3 (3) - 2)}^{3}})$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$f (3) = \ln (\frac{81}{{(3 (3) - 2)}^{3}})$

Étape 4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (3) = \ln (\frac{81}{{(9 - 2)}^{3}})$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $2$ de $9$ .

$f (3) = \ln (\frac{81}{7^{3}})$

Étape 4.2.2.3

Élevez $7$ à la puissance $3$ .

$f (3) = \ln (\frac{81}{343})$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $\ln (\frac{81}{343})$ .

$\ln (\frac{81}{343})$

Étape 4.3

Convertissez $\ln (\frac{81}{343})$ en décimale.

$y = - 1.44328129$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = 0$ et les points $(1, 0), (2, - 1.38629436), (3, - 1.44328129)$ .

Asymptote verticale : $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & - 1.386 \\ 3 & - 1.443 \end{array}$

Étape 6