Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x^{2} + 3 x + 7)$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Définissez l’argument du logarithme égal à zéro.

$x^{2} + 3 x + 7 = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 3$ et $c = 7$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.1.3

Soustrayez $28$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.1.4

Réécrivez $- 19$ comme $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (19)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.3

Soustrayez $28$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.4

Réécrivez $- 19$ comme $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (19)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Étape 1.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 3 + i \sqrt{19}}{2}$

Étape 1.2.4.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{19}}{2}$

Étape 1.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{19})}{2}$

Étape 1.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (- i \sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{19})}{2}$

Étape 1.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}$

Étape 1.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $7$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 28}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.3

Soustrayez $28$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.4

Réécrivez $- 19$ comme $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (19)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Étape 1.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 3 - i \sqrt{19}}{2}$

Étape 1.2.5.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{19}}{2}$

Étape 1.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{19})}{2}$

Étape 1.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (i \sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{19})}{2}$

Étape 1.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

Étape 1.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

Étape 1.3

L’asymptote verticale se produit sur $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$ .

Asymptote verticale : $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} + 3 (1) + 7)$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = \ln (1 + 3 (1) + 7)$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (1) = \ln (1 + 3 + 7)$

Étape 2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Additionnez $1$ et $3$ .

$f (1) = \ln (4 + 7)$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $4$ et $7$ .

$f (1) = \ln (11)$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $\ln (11)$ .

$\ln (11)$

Étape 2.3

Convertissez $\ln (11)$ en décimale.

$y = 2.39789527$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \ln ({(2)}^{2} + 3 (2) + 7)$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (2) = \ln (4 + 3 (2) + 7)$

Étape 3.2.1.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (2) = \ln (4 + 6 + 7)$

Étape 3.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Additionnez $4$ et $6$ .

$f (2) = \ln (10 + 7)$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $10$ et $7$ .

$f (2) = \ln (17)$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $\ln (17)$ .

$\ln (17)$

Étape 3.3

Convertissez $\ln (17)$ en décimale.

$y = 2.83321334$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \ln ({(3)}^{2} + 3 (3) + 7)$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$f (3) = \ln (9 + 3 (3) + 7)$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$f (3) = \ln (9 + 9 + 7)$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Additionnez $9$ et $9$ .

$f (3) = \ln (18 + 7)$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $18$ et $7$ .

$f (3) = \ln (25)$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $\ln (25)$ .

$\ln (25)$

Étape 4.3

Convertissez $\ln (25)$ en décimale.

$y = 3.21887582$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$ et les points $(1, 2.39789527), (2, 2.83321334), (3, 3.21887582)$ .

Asymptote verticale : $x = - \frac{3 - i \sqrt{19}}{2}, x = - \frac{3 + i \sqrt{19}}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2.398 \\ 2 & 2.833 \\ 3 & 3.219 \end{array}$

Étape 6