Calcul infinitésimal Exemples

\ln (x e^{x})

$\ln (x e^{x})$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Déterminez où l’expression

\ln (x) + x

$\ln (x) + x$ est indéfinie.

x \leq 0

$x \leq 0$

Étape 1.2

Comme

\ln (x) + x

$\ln (x) + x$

\to

$\to$

\infty

$\infty$ comme

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ depuis la gauche et

\ln (x) + x

$\ln (x) + x$

\to

$\to$

- \infty

$- \infty$ comme

x

$x$

\to

$\to$

0

$0$ depuis la droite,

x = 0

$x = 0$ est une asymptote verticale.

x = 0

$x = 0$

Étape 1.3

Ignorez le logarithme et étudiez la fonction rationnelle

R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}

$R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où

n

$n$ est le degré du numérateur et

m

$m$ est le degré du dénominateur.

1. Si

n < m

$n < m$ , alors l’abscisse,

y = 0

$y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si

n = m

$n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite

y = \frac{a}{b}

$y = \frac{a}{b}$ .

3. Si

n > m

$n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 1.4

Il n’y a pas d’asymptote horizontale car

Q (x)

$Q (x)$ est

1

$1$ .

Aucune asymptote horizontale

Étape 1.5

Aucune asymptote oblique n’est présente pour les fonctions logarithmiques et trigonométriques.

Aucune asymptote oblique

Étape 1.6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales :

x = 0

$x = 0$

Aucune asymptote horizontale

Asymptotes verticales :

x = 0

$x = 0$

Aucune asymptote horizontale

Étape 2

Déterminez le point sur

x = 1

$x = 1$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

1

$1$ dans l’expression.

f (1) = \ln ((1) \cdot e^{1})

$f (1) = \ln ((1) \cdot e^{1})$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Multipliez

e^{1}

$e^{1}$ par

1

$1$ .

f (1) = \ln (e)

$f (1) = \ln (e)$

Étape 2.2.2

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer

1

$1$ de l’exposant.

f (1) = 1 \ln (e)

$f (1) = 1 \ln (e)$

Étape 2.2.3

Multipliez

\ln (e)

$\ln (e)$ par

1

$1$ .

f (1) = \ln (e)

$f (1) = \ln (e)$

Étape 2.2.4

Le logarithme naturel de

e

$e$ est

1

$1$ .

f (1) = 1

$f (1) = 1$

Étape 2.2.5

La réponse finale est

1

$1$ .

1

$1$

1

$1$

Étape 2.3

Convertissez

1

$1$ en décimale.

y = 1

$y = 1$

y = 1

$y = 1$

Étape 3

Déterminez le point sur

x = 2

$x = 2$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

2

$2$ dans l’expression.

f (2) = \ln ((2) \cdot e^{2})

$f (2) = \ln ((2) \cdot e^{2})$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Multipliez

2

$2$ par

e^{2}

$e^{2}$ .

f (2) = \ln (2 e^{2})

$f (2) = \ln (2 e^{2})$

Étape 3.2.2

La réponse finale est

\ln (2 e^{2})

$\ln (2 e^{2})$ .

\ln (2 e^{2})

$\ln (2 e^{2})$

\ln (2 e^{2})

$\ln (2 e^{2})$

Étape 3.3

Convertissez

\ln (2 e^{2})

$\ln (2 e^{2})$ en décimale.

y = 2.69314718

$y = 2.69314718$

y = 2.69314718

$y = 2.69314718$

Étape 4

Déterminez le point sur

x = 3

$x = 3$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable

x

$x$ par

3

$3$ dans l’expression.

f (3) = \ln ((3) \cdot e^{3})

$f (3) = \ln ((3) \cdot e^{3})$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Multipliez

3

$3$ par

e^{3}

$e^{3}$ .

f (3) = \ln (3 e^{3})

$f (3) = \ln (3 e^{3})$

Étape 4.2.2

La réponse finale est

\ln (3 e^{3})

$\ln (3 e^{3})$ .

\ln (3 e^{3})

$\ln (3 e^{3})$

\ln (3 e^{3})

$\ln (3 e^{3})$

Étape 4.3

Convertissez

\ln (3 e^{3})

$\ln (3 e^{3})$ en décimale.

y = 4.09861228

$y = 4.09861228$

y = 4.09861228

$y = 4.09861228$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur

x = 0

$x = 0$ et les points

(1, 1), (2, 2.69314718), (3, 4.09861228)

$(1, 1), (2, 2.69314718), (3, 4.09861228)$ .

Asymptote verticale :

x = 0

$x = 0$

\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 2 & 2.693 \\ 3 & 4.099 \end{array}

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 2 & 2.693 \\ 3 & 4.099 \end{array}$

Étape 6