Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\sqrt{x + 1})$

Étape 1

Déterminez le domaine pour $y = \ln (\sqrt{x + 1})$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique du radical.

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Étape 1.1

Définissez l’argument dans $\ln (\sqrt{x + 1})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\sqrt{x + 1} > 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’inégalité, élevez au carré les deux côtés de l’inégalité.

${\sqrt{x + 1}}^{2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2

Simplifiez chaque côté de l’inégalité.

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Étape 1.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 1}$ comme ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Simplifiez ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x + 1)}^{1} > 0^{2}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Simplifiez

$x + 1 > 0^{2}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x + 1 > 0$

Étape 1.2.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$x > - 1$

Étape 1.2.4

Déterminez le domaine de $\sqrt{x + 1}$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x + 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x + 1 \geq 0$

Étape 1.2.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 1$

Étape 1.2.4.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$[- 1, \infty)$

Étape 1.2.5

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x > - 1$

Étape 1.3

Définissez le radicande dans $\sqrt{x + 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x + 1 \geq 0$

Étape 1.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$x \geq - 1$

Étape 1.5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- 1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > - 1}$

Notation d’intervalle :

$(- 1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x > - 1}$

Étape 2

Pour déterminer le point final de l’expression radicale, remplacez la valeur $x$ $- 1$ , qui est la valeur la plus basse dans le domaine, dans $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = \ln (\sqrt{(- 1) + 1})$

Étape 2.2

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (- 1) = \ln (\sqrt{0})$

Étape 2.3

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (- 1) = \ln (\sqrt{0^{2}})$

Étape 2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- 1) = \ln (0)$

Étape 2.5

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

$f (- 1) = Undefined$

Indéfini

Étape 3

Le point final de l’expression du radical est $(- 1, Undefined)$ .

$(- 1, Undefined)$

Étape 4

Sélectionnez quelques valeurs $x$ depuis le domaine. Il serait plus utile de sélectionner les valeurs de sorte qu’elles soient proches de la valeur $x$ du point final de l’expression radicale.

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Étape 4.1

Remplacez la valeur $x$ $0$ dans $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ . Dans ce cas, le point est $(0, 0)$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = \ln (\sqrt{(0) + 1})$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (0) = \ln (\sqrt{1})$

Étape 4.1.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (0) = \ln (1)$

Étape 4.1.2.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f (0) = 0$

Étape 4.1.2.4

La réponse finale est $0$ .

$y = 0$

Étape 4.2

Remplacez la valeur $x$ $1$ dans $f (x) = \ln (\sqrt{x + 1})$ . Dans ce cas, le point est $(1, \ln (\sqrt{2}))$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \ln (\sqrt{(1) + 1})$

Étape 4.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.2.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (1) = \ln (\sqrt{2})$

Étape 4.2.2.2

La réponse finale est $\ln (\sqrt{2})$ .

$y = \ln (\sqrt{2})$

Étape 4.3

La racine carrée peut être représentée avec les points autour du sommet $(- 1, Undefined), (0, 0), (1, 0.35)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & Undefined \\ 0 & 0 \\ 1 & 0.35 \end{array}$

Étape 5