Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\sqrt[5]{x})$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Définissez l’argument du logarithme égal à zéro.

$\sqrt[5]{x} = 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $5$ .

${\sqrt[5]{x}}^{5} = 0^{5}$

Étape 1.2.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x}$ comme $x^{\frac{1}{5}}$ .

${(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Simplifiez ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 1.2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 1.2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = 0^{5}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Simplifiez

$x = 0^{5}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x = 0$

Étape 1.3

L’asymptote verticale se produit sur $x = 0$ .

Asymptote verticale : $x = 0$

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 1$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \ln (\sqrt[5]{1})$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (1) = \ln (\sqrt[5]{1})$

Étape 2.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (1) = \ln (1)$

Étape 2.2.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f (1) = 0$

Étape 2.2.4

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 2.3

Convertissez $0$ en décimale.

$y = 0$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 2$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \ln (\sqrt[5]{2})$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (2) = \ln (\sqrt[5]{2})$

Étape 3.2.2

La réponse finale est $\ln (\sqrt[5]{2})$ .

$\ln (\sqrt[5]{2})$

Étape 3.3

Convertissez $\ln (\sqrt[5]{2})$ en décimale.

$y = 0.13862943$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 3$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \ln (\sqrt[5]{3})$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (3) = \ln (\sqrt[5]{3})$

Étape 4.2.2

La réponse finale est $\ln (\sqrt[5]{3})$ .

$\ln (\sqrt[5]{3})$

Étape 4.3

Convertissez $\ln (\sqrt[5]{3})$ en décimale.

$y = 0.21972245$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = 0$ et les points $(1, 0), (2, 0.13862943), (3, 0.21972245)$ .

Asymptote verticale : $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 0.139 \\ 3 & 0.22 \end{array}$

Étape 6