Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (\sqrt{x y})$

Étape 1

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\sqrt{x y})} = e^{0}$

Étape 2

Réécrivez $\ln (\sqrt{x y}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \sqrt{x y}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{x y} = e^{0}$ .

$\sqrt{x y} = e^{0}$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x y}}^{2} = {(e^{0})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x y}$ comme ${(x y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{0})}^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{0})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{0})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x y)}^{1} = {(e^{0})}^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$x y = {(e^{0})}^{2}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Simplifiez ${(e^{0})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{0})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x y = e^{0 \cdot 2}$

Étape 3.3.3.1.1.2

Multipliez $0$ par $2$ .

$x y = e^{0}$

Étape 3.3.3.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x y = 1$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $x y = 1$ par $y$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $x y = 1$ par $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{1}{y}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{y} = \frac{1}{y}$

Étape 3.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{y}$

Étape 4

Déterminez la valeur $y$ sur $x = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = \frac{1}{- 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 1$

Étape 4.2.2

La réponse finale est $- 1$ .

$- 1$

Étape 4.3

La valeur $y$ sur $x = - 1$ est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 5

Déterminez la valeur $y$ sur $x = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \frac{1}{- 2}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 2) = - \frac{1}{2}$

Étape 5.2.2

La réponse finale est $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 5.3

La valeur $y$ sur $x = - 2$ est $- \frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{1}{2}$

Étape 6

Déterminez la valeur $y$ sur $x = - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = \frac{1}{- 3}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 3) = - \frac{1}{3}$

Étape 6.2.2

La réponse finale est $- \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3}$

Étape 6.3

La valeur $y$ sur $x = - 3$ est $- \frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{1}{3}$

Étape 7

Déterminez la valeur $y$ sur $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{1}{1}$

Étape 7.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Divisez $1$ par $1$ .

$f (1) = 1$

Étape 7.2.2

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 7.3

La valeur $y$ sur $x = 1$ est $1$ .

$y = 1$

Étape 8

Déterminez la valeur $y$ sur $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{1}{2}$

Étape 8.2

La réponse finale est $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 8.3

La valeur $y$ sur $x = 2$ est $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Étape 9

Déterminez la valeur $y$ sur $x = 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \frac{1}{3}$

Étape 9.2

La réponse finale est $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 9.3

La valeur $y$ sur $x = 3$ est $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{3}$

Étape 10

Indiquez les points à reporter.

$(- 1, - 1), (- 2, - 0.5), (- 3, - 0.\overline{3}), (1, 1), (2, 0.5), (3, 0.\overline{3})$

Étape 11

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 0.333 \\ - 2 & - 0.5 \\ - 1 & - 1 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0.5 \\ 3 & 0.333 \end{array}$

Étape 12