Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ sur $x = 1$ .

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Étape 1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \ln ((1) + \sqrt{((1) + 1) ((1) - 1)})$

Étape 1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.1.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (1) = \ln (1 + \sqrt{2 (1 - 1)})$

Étape 1.2.1.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (1) = \ln (1 + \sqrt{2 \cdot 0})$

Étape 1.2.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$f (1) = \ln (1 + \sqrt{0})$

Étape 1.2.1.4

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (1) = \ln (1 + \sqrt{0^{2}})$

Étape 1.2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (1) = \ln (1 + 0)$

Étape 1.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (1) = \ln (1)$

Étape 1.2.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f (1) = 0$

Étape 1.2.4

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 1.3

La valeur $y$ sur $x = 1$ est $0$ .

$y = 0$

Étape 2

Déterminez la valeur $y$ sur $x = 2$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \ln ((2) + \sqrt{((2) + 1) ((2) - 1)})$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (2) = \ln (2 + \sqrt{3 (2 - 1)})$

Étape 2.2.1.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$f (2) = \ln (2 + \sqrt{3 \cdot 1})$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$f (2) = \ln (2 + \sqrt{3})$

Étape 2.2.2

La réponse finale est $\ln (2 + \sqrt{3})$ .

$\ln (2 + \sqrt{3})$

Étape 2.3

La valeur $y$ sur $x = 2$ est $\ln (2 + \sqrt{3})$ .

$y = \ln (2 + \sqrt{3})$

Étape 3

Déterminez la valeur $y$ sur $x = 3$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \ln ((3) + \sqrt{((3) + 1) ((3) - 1)})$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Additionnez $3$ et $1$ .

$f (3) = \ln (3 + \sqrt{4 (3 - 1)})$

Étape 3.2.1.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$f (3) = \ln (3 + \sqrt{4 \cdot 2})$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (3) = \ln (3 + \sqrt{8})$

Étape 3.2.1.4

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 3.2.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$f (3) = \ln (3 + \sqrt{4 (2)})$

Étape 3.2.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (3) = \ln (3 + \sqrt{2^{2} \cdot 2})$

Étape 3.2.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$f (3) = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$

Étape 3.2.2

La réponse finale est $\ln (3 + 2 \sqrt{2})$ .

$\ln (3 + 2 \sqrt{2})$

Étape 3.3

La valeur $y$ sur $x = 3$ est $\ln (3 + 2 \sqrt{2})$ .

$y = \ln (3 + 2 \sqrt{2})$

Étape 4

Indiquez les points à reporter.

$(1, 0), (2, 1.31695789), (3, 1.76274717)$

Étape 5

Sélectionnez quelques points à représenter graphiquement.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 1.317 \\ 3 & 1.763 \end{array}$

Étape 6