Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez où l’expression $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ est indéfinie.

$x \leq - \frac{5}{7}$

Étape 1.2

Comme $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- \frac{5}{7}$ depuis la gauche et $\frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- \frac{5}{7}$ depuis la droite, $x = - \frac{5}{7}$ est une asymptote verticale.

$x = - \frac{5}{7}$

Étape 1.3

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 5)}{lim_{x \to \infty} e^{7 x + 5}}$

Étape 1.3.1.1.2

Lorsque le logarithme approche de l’infini, la valeur passe à $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{7 x + 5}}$

Étape 1.3.1.1.3

Comme l’exposant $7 x + 5$ approche de $\infty$ , la quantité $e^{7 x + 5}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.3.1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.3.1.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (7 x + 5)}{e^{7 x + 5}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Étape 1.3.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Étape 1.3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 7 x + 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Étape 1.3.1.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Étape 1.3.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Étape 1.3.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Étape 1.3.1.3.4

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Étape 1.3.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Étape 1.3.1.3.6

Multipliez $7$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Étape 1.3.1.3.7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} (7 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Étape 1.3.1.3.8

Additionnez $7$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{7 x + 5} \cdot 7}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Étape 1.3.1.3.9

Associez $\frac{1}{7 x + 5}$ et $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{\frac{d}{d x} [e^{7 x + 5}]}$

Étape 1.3.1.3.10

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 7 x + 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.3.10.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

Étape 1.3.1.3.10.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{u} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

Étape 1.3.1.3.10.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} \frac{d}{d x} [7 x + 5]}$

Étape 1.3.1.3.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5])}$

Étape 1.3.1.3.12

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}$

Étape 1.3.1.3.13

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}$

Étape 1.3.1.3.14

Multipliez $7$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 + \frac{d}{d x} [5])}$

Étape 1.3.1.3.15

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} (7 + 0)}$

Étape 1.3.1.3.16

Additionnez $7$ et $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{e^{7 x + 5} \cdot 7}$

Étape 1.3.1.3.17

Déplacez $7$ à gauche de $e^{7 x + 5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7}{7 x + 5}}{7 e^{7 x + 5}}$

Étape 1.3.1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{7 x + 5} \cdot \frac{1}{7 e^{7 x + 5}}$

Étape 1.3.1.5

Multipliez $\frac{7}{7 x + 5}$ par $\frac{1}{7 e^{7 x + 5}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{(7 x + 5) (7 e^{7 x + 5})}$

Étape 1.3.1.6

Annulez le facteur commun de $7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.6.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{7}{(7 x + 5) (7 e^{7 x + 5})}$

Étape 1.3.1.6.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{(7 x + 5) (e^{7 x + 5})}$

Étape 1.3.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{(7 x + 5) (e^{7 x + 5})}$ approche de $0$ .

$0$

Étape 1.4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 0$

Étape 1.5

Aucune asymptote oblique n’est présente pour les fonctions logarithmiques et trigonométriques.

Aucune asymptote oblique

Étape 1.6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - \frac{5}{7}$

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Asymptotes verticales : $x = - \frac{5}{7}$

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{\ln (7 (1) + 5)}{e^{7 (1) + 5}}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Multipliez $7$ par $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (7 + 5)}{e^{7 (1) + 5}}$

Étape 2.2.1.2

Additionnez $7$ et $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{7 (1) + 5}}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Multipliez $7$ par $1$ .

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{7 + 5}}$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $7$ et $5$ .

$f (1) = \frac{\ln (12)}{e^{12}}$

Étape 2.2.3

La réponse finale est $\frac{\ln (12)}{e^{12}}$ .

$\frac{\ln (12)}{e^{12}}$

Étape 2.3

Convertissez $\frac{\ln (12)}{e^{12}}$ en décimale.

$y = 1.52677941 \times 10^{- 5}$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{\ln (7 (2) + 5)}{e^{7 (2) + 5}}$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Multipliez $7$ par $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (14 + 5)}{e^{7 (2) + 5}}$

Étape 3.2.1.2

Additionnez $14$ et $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{7 (2) + 5}}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Multipliez $7$ par $2$ .

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{14 + 5}}$

Étape 3.2.2.2

Additionnez $14$ et $5$ .

$f (2) = \frac{\ln (19)}{e^{19}}$

Étape 3.2.3

La réponse finale est $\frac{\ln (19)}{e^{19}}$ .

$\frac{\ln (19)}{e^{19}}$

Étape 3.3

Convertissez $\frac{\ln (19)}{e^{19}}$ en décimale.

$y = 1.64970922 \times 10^{- 8}$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \frac{\ln (7 (3) + 5)}{e^{7 (3) + 5}}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1

Multipliez $7$ par $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (21 + 5)}{e^{7 (3) + 5}}$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $21$ et $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{7 (3) + 5}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Multipliez $7$ par $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{21 + 5}}$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $21$ et $5$ .

$f (3) = \frac{\ln (26)}{e^{26}}$

Étape 4.2.3

La réponse finale est $\frac{\ln (26)}{e^{26}}$ .

$\frac{\ln (26)}{e^{26}}$

Étape 4.3

Convertissez $\frac{\ln (26)}{e^{26}}$ en décimale.

$y = 1.66459052 \times 10^{- 11}$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = - \frac{5}{7}$ et les points $(1, 1.52677941), (2, 1.64970922), (3, 1.66459052)$ .

Asymptote verticale : $x = - \frac{5}{7}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1.527 \\ 2 & 1.65 \\ 3 & 1.665 \end{array}$

Étape 6