Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{4000}{\ln (x + 5)}$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Déterminez où l’expression $\frac{4000}{\ln (x + 5)}$ est indéfinie.

$x \leq - 5, x = - 4$

Étape 1.2

Comme $\frac{4000}{\ln (x + 5)}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $- 4$ depuis la gauche et $\frac{4000}{\ln (x + 5)}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $- 4$ depuis la droite, $x = - 4$ est une asymptote verticale.

$x = - 4$

Étape 1.3

Évaluez $lim_{x \to \infty} \frac{4000}{\ln (x + 5)}$ pour déterminer l’asymptote horizontale.

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Étape 1.3.1

Placez le terme $4000$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$4000 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\ln (x + 5)}$

Étape 1.3.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{\ln (x + 5)}$ approche de $0$ .

$4000 \cdot 0$

Étape 1.3.3

Multipliez $4000$ par $0$ .

$0$

Étape 1.4

Indiquez les asymptotes horizontales :

$y = 0$

Étape 1.5

Aucune asymptote oblique n’est présente pour les fonctions logarithmiques et trigonométriques.

Aucune asymptote oblique

Étape 1.6

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = - 4$

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Asymptotes verticales : $x = - 4$

Asymptotes horizontales : $y = 0$

Étape 2

Déterminez le point sur $x = - 3$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 3$ dans l’expression.

$f (- 3) = \frac{4000}{\ln ((- 3) + 5)}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Additionnez $- 3$ et $5$ .

$f (- 3) = \frac{4000}{\ln (2)}$

Étape 2.2.2

La réponse finale est $\frac{4000}{\ln (2)}$ .

$\frac{4000}{\ln (2)}$

Étape 2.3

Convertissez $\frac{4000}{\ln (2)}$ en décimale.

$y = 5770.78016355$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = - 2$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = \frac{4000}{\ln ((- 2) + 5)}$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Additionnez $- 2$ et $5$ .

$f (- 2) = \frac{4000}{\ln (3)}$

Étape 3.2.2

La réponse finale est $\frac{4000}{\ln (3)}$ .

$\frac{4000}{\ln (3)}$

Étape 3.3

Convertissez $\frac{4000}{\ln (3)}$ en décimale.

$y = 3640.9569065$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = - 1$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = \frac{4000}{\ln ((- 1) + 5)}$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$f (- 1) = \frac{4000}{\ln (4)}$

Étape 4.2.2

Réécrivez $\ln (4)$ comme $\ln (2^{2})$ .

$f (- 1) = \frac{4000}{\ln (2^{2})}$

Étape 4.2.3

Développez $\ln (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$f (- 1) = \frac{4000}{2 \ln (2)}$

Étape 4.2.4

Annulez le facteur commun à $4000$ et $2$ .

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Étape 4.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4000$ .

$f (- 1) = \frac{2 \cdot 2000}{2 \ln (2)}$

Étape 4.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \ln (2)$ .

$f (- 1) = \frac{2 \cdot 2000}{2 (\ln (2))}$

Étape 4.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 1) = \frac{2 \cdot 2000}{2 \ln (2)}$

Étape 4.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 1) = \frac{2000}{\ln (2)}$

Étape 4.2.5

La réponse finale est $\frac{2000}{\ln (2)}$ .

$\frac{2000}{\ln (2)}$

Étape 4.3

Convertissez $\frac{2000}{\ln (2)}$ en décimale.

$y = 2885.39008177$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = - 4$ et les points $(- 3, 5770.78016355), (- 2, 3640.9569065), (- 1, 2885.39008177)$ .

Asymptote verticale : $x = - 4$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 5770.78 \\ - 2 & 3640.957 \\ - 1 & 2885.39 \end{array}$

Étape 6