Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{x})}^{3} (\ln (x)))$

Étape 1

Déterminez les asymptotes.

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Étape 1.1

Déterminez où l’expression $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 1.2

Comme $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $\infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la gauche et $\frac{\ln (x) {(4 x + 1)}^{3}}{3 x^{3}}$ $\to$ $- \infty$ comme $x$ $\to$ $0$ depuis la droite, $x = 0$ est une asymptote verticale.

$x = 0$

Étape 1.3

Ignorez le logarithme et étudiez la fonction rationnelle $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ où $n$ est le degré du numérateur et $m$ est le degré du dénominateur.

1. Si $n < m$ , alors l’abscisse, $y = 0$ , est l’asymptote horizontale.

2. Si $n = m$ , alors l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , alors il n’y a pas d’asymptote horizontale (il existe une asymptote oblique).

Étape 1.4

Déterminez $n$ et $m$ .

$n = 3$

$m = 3$

Étape 1.5

Comme $n = m$ , l’asymptote horizontale est la droite $y = \frac{a}{b}$ où $a = 64$ et $b = 3$ .

$y = \frac{64}{3}$

Étape 1.6

Aucune asymptote oblique n’est présente pour les fonctions logarithmiques et trigonométriques.

Aucune asymptote oblique

Étape 1.7

C’est l’ensemble de toutes les asymptotes.

Asymptotes verticales : $x = 0$

Asymptotes horizontales : $y = \frac{64}{3}$

Asymptotes verticales : $x = 0$

Asymptotes horizontales : $y = \frac{64}{3}$

Étape 2

Déterminez le point sur $x = 1$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{1})}^{3} (\ln (1)))$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Divisez $1$ par $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + 1)}^{3} \ln (1))$

Étape 2.2.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (5^{3} \ln (1))$

Étape 2.2.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \ln (1))$

Étape 2.2.4

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot (125 \cdot 0)$

Étape 2.2.5

Multipliez $125$ par $0$ .

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot 0$

Étape 2.2.6

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$f (1) = 0$

Étape 2.2.7

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 2.3

Convertissez $0$ en décimale.

$y = 0$

Étape 3

Déterminez le point sur $x = 2$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{2})}^{3} (\ln (2)))$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

Étape 3.2.2

Associez $4$ et $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2})}^{3} \ln (2))$

Étape 3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 2 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

Étape 3.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.4.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{8 + 1}{2})}^{3} \ln (2))$

Étape 3.2.4.2

Additionnez $8$ et $1$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{9}{2})}^{3} \ln (2))$

Étape 3.2.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{9}{2}$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{9^{3}}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

Étape 3.2.6

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{2^{3}} \cdot \ln (2))$

Étape 3.2.7

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{729}{8} \cdot \ln (2))$

Étape 3.2.8

Simplifiez $\frac{729}{8} \ln (2)$ en déplaçant $\frac{729}{8}$ dans le logarithme.

$f (2) = \frac{1}{3} \cdot \ln (2^{\frac{729}{8}})$

Étape 3.2.9

Simplifiez $\frac{1}{3} \ln (2^{\frac{729}{8}})$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ dans le logarithme.

$f (2) = \ln ({(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}})$

Étape 3.2.10

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{729}{8}})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 3.2.10.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (2) = \ln (2^{\frac{729}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Étape 3.2.10.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.10.2.1

Factorisez $3$ à partir de $729$ .

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 (243)}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Étape 3.2.10.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (2) = \ln (2^{\frac{3 \cdot 243}{8} \cdot \frac{1}{3}})$

Étape 3.2.10.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (2) = \ln (2^{\frac{243}{8}})$

Étape 3.2.11

La réponse finale est $\ln (2^{\frac{243}{8}})$ .

$\ln (2^{\frac{243}{8}})$

Étape 3.3

Convertissez $\ln (2^{\frac{243}{8}})$ en décimale.

$y = 21.0543456$

Étape 4

Déterminez le point sur $x = 3$ .

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Étape 4.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 + \frac{1}{3})}^{3} (\ln (3)))$

Étape 4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.1

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

Étape 4.2.2

Associez $4$ et $\frac{3}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3}{3} + \frac{1}{3})}^{3} \ln (3))$

Étape 4.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{4 \cdot 3 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

Étape 4.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.4.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{12 + 1}{3})}^{3} \ln (3))$

Étape 4.2.4.2

Additionnez $12$ et $1$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot ({(\frac{13}{3})}^{3} \ln (3))$

Étape 4.2.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{13}{3}$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{13^{3}}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

Étape 4.2.6

Élevez $13$ à la puissance $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{3^{3}} \cdot \ln (3))$

Étape 4.2.7

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (\frac{2197}{27} \cdot \ln (3))$

Étape 4.2.8

Simplifiez $\frac{2197}{27} \ln (3)$ en déplaçant $\frac{2197}{27}$ dans le logarithme.

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (3^{\frac{2197}{27}})$

Étape 4.2.9

Simplifiez $\frac{1}{3} \ln (3^{\frac{2197}{27}})$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ dans le logarithme.

$f (3) = \ln ({(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}})$

Étape 4.2.10

Multipliez les exposants dans ${(3^{\frac{2197}{27}})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 4.2.10.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}})$

Étape 4.2.10.2

Multipliez $\frac{2197}{27} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 4.2.10.2.1

Multipliez $\frac{2197}{27}$ par $\frac{1}{3}$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{27 \cdot 3}})$

Étape 4.2.10.2.2

Multipliez $27$ par $3$ .

$f (3) = \ln (3^{\frac{2197}{81}})$

Étape 4.2.11

La réponse finale est $\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ .

$\ln (3^{\frac{2197}{81}})$

Étape 4.3

Convertissez $\ln (3^{\frac{2197}{81}})$ en décimale.

$y = 29.79816294$

Étape 5

La fonction logarithme peut être représentée graphiquement en utilisant l’asymptote verticale sur $x = 0$ et les points $(1, 0), (2, 21.0543456), (3, 29.79816294)$ .

Asymptote verticale : $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 21.054 \\ 3 & 29.798 \end{array}$

Étape 6