Calcul infinitésimal Exemples

$t \sqrt{\ln (t)}$

Étape 1

Déterminez le domaine pour $y = t \sqrt{\ln (t)}$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique du radical.

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Étape 1.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x > 0$

Étape 1.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{\ln (x)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\ln (x) \geq 0$

Étape 1.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\ln (x) = 0$

Étape 1.3.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.3.2.1

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{0}$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez $\ln (x) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x$

Étape 1.3.2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.2.3.1

Réécrivez l’équation comme $x = e^{0}$ .

$x = e^{0}$

Étape 1.3.2.3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x = 1$

Étape 1.3.3

Déterminez le domaine de $\ln (x)$ .

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Étape 1.3.3.1

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x > 0$

Étape 1.3.3.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(0, \infty)$

Étape 1.3.4

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \geq 1$

Étape 1.4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 1}$

Notation d’intervalle :

$[1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq 1}$

Étape 2

Pour déterminer le point final de l’expression radicale, remplacez la valeur $x$ $1$ , qui est la valeur la plus basse dans le domaine, dans $f (x) = x \sqrt{\ln (x)}$ .

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Étape 2.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = (1) \sqrt{\ln (1)}$

Étape 2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.1

Multipliez $\sqrt{\ln (1)}$ par $1$ .

$f (1) = \sqrt{\ln (1)}$

Étape 2.2.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$f (1) = \sqrt{0}$

Étape 2.2.3

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$f (1) = \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (1) = 0$

Étape 2.2.5

La réponse finale est $0$ .

$0$

Étape 3

Le point final de l’expression du radical est $(1, 0)$ .

$(1, 0)$

Étape 4

Sélectionnez quelques valeurs $x$ depuis le domaine. Il serait plus utile de sélectionner les valeurs de sorte qu’elles soient proches de la valeur $x$ du point final de l’expression radicale.

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Étape 4.1

Remplacez la valeur $x$ $2$ dans $f (x) = x \sqrt{\ln (x)}$ . Dans ce cas, le point est $(2, 2 \sqrt{\ln (2)})$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = (2) \sqrt{\ln (2)}$

Étape 4.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $2$ par $\sqrt{\ln (2)}$ .

$f (2) = 2 \sqrt{\ln (2)}$

Étape 4.1.2.2

La réponse finale est $2 \sqrt{\ln (2)}$ .

$y = 2 \sqrt{\ln (2)}$

Étape 4.2

Remplacez la valeur $x$ $3$ dans $f (x) = x \sqrt{\ln (x)}$ . Dans ce cas, le point est $(3, 3 \sqrt{\ln (3)})$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez la variable $x$ par $3$ dans l’expression.

$f (3) = (3) \sqrt{\ln (3)}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $3$ par $\sqrt{\ln (3)}$ .

$f (3) = 3 \sqrt{\ln (3)}$

Étape 4.2.2.2

La réponse finale est $3 \sqrt{\ln (3)}$ .

$y = 3 \sqrt{\ln (3)}$

Étape 4.3

La racine carrée peut être représentée avec les points autour du sommet $(1, 0), (2, 1.67), (3, 3.14)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0 \\ 2 & 1.67 \\ 3 & 3.14 \end{array}$

Étape 5