Calcul infinitésimal Exemples

$\log_{5} (\frac{125 \cdot \sqrt{625}}{5^{2} \cdot 25^{2}})$

Étape 1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $625$ comme $25^{2}$ .

$\log_{5} (\frac{125 \sqrt{25^{2}}}{5^{2} \cdot 25^{2}})$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{2} \cdot 25^{2}})$

Étape 2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{2} \cdot {(5^{2})}^{2}})$

Étape 2.2

Multipliez les exposants dans ${(5^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{2} \cdot 5^{2 \cdot 2}})$

Étape 2.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{2} \cdot 5^{4}})$

Étape 2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{2 + 4}})$

Étape 2.4

Additionnez $2$ et $4$ .

$\log_{5} (\frac{125 \cdot 25}{5^{6}})$

Étape 3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.1

Multipliez $125$ par $25$ .

$\log_{5} (\frac{3125}{5^{6}})$

Étape 3.2

Élevez $5$ à la puissance $6$ .

$\log_{5} (\frac{3125}{15625})$

Étape 3.3

Réduisez l’expression $\frac{3125}{15625}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.3.1

Factorisez $3125$ à partir de $3125$ .

$\log_{5} (\frac{3125 (1)}{15625})$

Étape 3.3.2

Factorisez $3125$ à partir de $15625$ .

$\log_{5} (\frac{3125 \cdot 1}{3125 \cdot 5})$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun.

$\log_{5} (\frac{3125 \cdot 1}{3125 \cdot 5})$

Étape 3.3.4

Réécrivez l’expression.

$\log_{5} (\frac{1}{5})$

Étape 4

Réécrivez $\frac{1}{5}$ comme $1 \cdot 5^{- 1}$ .

$\log_{5} (1 \cdot 5^{- 1})$

Étape 5

Réécrivez $\log_{5} (1 \cdot 5^{- 1})$ comme $\log_{5} (1) + \log_{5} (5^{- 1})$ .

$\log_{5} (1) + \log_{5} (5^{- 1})$

Étape 6

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $- 1$ de l’exposant.

$\log_{5} (1) - \log_{5} (5)$

Étape 7

La base logarithmique $5$ de $5$ est $1$ .

$\log_{5} (1) - 1 \cdot 1$

Étape 8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\log_{5} (1) - 1$

Étape 9

La base logarithmique $5$ de $1$ est $0$ .

$0 - 1$

Étape 10

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$