Calcul infinitésimal Exemples

$\cos^{2} (x) = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$

Étape 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Étape 2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ .

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Étape 2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Étape 3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Étape 3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Étape 3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}, - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Étape 4

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Étape 5

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 5.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Évaluez $\arccos (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Étape 5.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{3 π}{8}$

Étape 5.4

Simplifiez $2 π - \frac{3 π}{8}$ .

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Étape 5.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{8}{8} - \frac{3 π}{8}$

Étape 5.4.2

Associez les fractions.

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Étape 5.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{8}{8}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 8}{8} - \frac{3 π}{8}$

Étape 5.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 8 - 3 π}{8}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.3.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$x = \frac{16 π - 3 π}{8}$

Étape 5.4.3.2

Soustrayez $3 π$ de $16 π$ .

$x = \frac{13 π}{8}$

Étape 5.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 5.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{8} + 2 π n, \frac{13 π}{8} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Résolvez $x$ dans $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 6.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$

Étape 6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1

Évaluez $\arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2})$ .

$x = \frac{5 π}{8}$

Étape 6.3

La fonction cosinus est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - \frac{5 π}{8}$

Étape 6.4

Simplifiez $2 π - \frac{5 π}{8}$ .

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Étape 6.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{8}{8} - \frac{5 π}{8}$

Étape 6.4.2

Associez les fractions.

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Étape 6.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{8}{8}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 8}{8} - \frac{5 π}{8}$

Étape 6.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 8 - 5 π}{8}$

Étape 6.4.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.4.3.1

Multipliez $8$ par $2$ .

$x = \frac{16 π - 5 π}{8}$

Étape 6.4.3.2

Soustrayez $5 π$ de $16 π$ .

$x = \frac{11 π}{8}$

Étape 6.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 6.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 6.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 6.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 6.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 6.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{5 π}{8} + 2 π n, \frac{11 π}{8} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{3 π}{8} + 2 π n, \frac{13 π}{8} + 2 π n, \frac{5 π}{8} + 2 π n, \frac{11 π}{8} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8

Consolidez les solutions.

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Étape 8.1

Consolidez $\frac{3 π}{8} + 2 π n$ et $\frac{11 π}{8} + 2 π n$ en $\frac{3 π}{8} + π n$ .

$x = \frac{3 π}{8} + π n, \frac{13 π}{8} + 2 π n, \frac{5 π}{8} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 8.2

Consolidez $\frac{13 π}{8} + 2 π n$ et $\frac{5 π}{8} + 2 π n$ en $\frac{5 π}{8} + π n$ .

$x = \frac{3 π}{8} + π n, \frac{5 π}{8} + π n$ , pour tout entier $n$