Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{9}{10}} - 6$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{9}{10}} - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{10}}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{10}}] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{10}}]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{9}{10}$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{9}{10} - 1} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{9}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{10}{10}$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{9}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9}{10} x^{\frac{9 - 1 \cdot 10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{9 - 10}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $10$ de $9$ .

$\frac{9}{10} x^{\frac{- 1}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9}{10} x^{- \frac{1}{10}} + \frac{d}{d x} [- 6]$

Étape 1.3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{9}{10} x^{- \frac{1}{10}} + 0$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{10} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{10}}} + 0$

Étape 1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.4.2.1

Multipliez $\frac{9}{10}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}$ .

$\frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}} + 0$

Étape 1.4.2.2

Additionnez $\frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}}$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1

Comme $\frac{9}{10}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{9}{10 x^{\frac{1}{10}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}]$ .

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}]$

Étape 2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{1}{10}}}$ comme ${(x^{\frac{1}{10}})}^{- 1}$ .

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{10}})}^{- 1}]$

Étape 2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{10}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{10} \cdot - 1}]$

Étape 2.2.2.2

Associez $\frac{1}{10}$ et $- 1$ .

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{10}}]$

Étape 2.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9}{10} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{10}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{10}$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{1}{10} - 1})$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{1}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}})$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{10}{10}$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{1}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}})$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 10}{10}})$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{\frac{- 1 - 10}{10}})$

Étape 2.7.2

Soustrayez $10$ de $- 1$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{\frac{- 11}{10}})$

Étape 2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{9}{10} (- \frac{1}{10} x^{- \frac{11}{10}})$

Étape 2.9

Associez $x^{- \frac{11}{10}}$ et $\frac{1}{10}$ .

$\frac{9}{10} (- \frac{x^{- \frac{11}{10}}}{10})$

Étape 2.10

Multipliez $\frac{9}{10}$ par $\frac{x^{- \frac{11}{10}}}{10}$ .

$- \frac{9 x^{- \frac{11}{10}}}{10 \cdot 10}$

Étape 2.11

Multipliez.

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Étape 2.11.1

Multipliez $10$ par $10$ .

$- \frac{9 x^{- \frac{11}{10}}}{100}$

Étape 2.11.2

Placez $x^{- \frac{11}{10}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{100 x^{\frac{11}{10}}}$

Étape 3

Déterminez la dérivée troisième.

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Étape 3.1

Comme $- \frac{9}{100}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{9}{100 x^{\frac{11}{10}}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{11}{10}}}]$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{11}{10}}}]$

Étape 3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 3.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{11}{10}}}$ comme ${(x^{\frac{11}{10}})}^{- 1}$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{11}{10}})}^{- 1}]$

Étape 3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{11}{10}})}^{- 1}$ .

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{\frac{11}{10} \cdot - 1}]$

Étape 3.2.2.2

Multipliez $\frac{11}{10} \cdot - 1$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Associez $\frac{11}{10}$ et $- 1$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{\frac{11 \cdot - 1}{10}}]$

Étape 3.2.2.2.2

Multipliez $11$ par $- 1$ .

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 11}{10}}]$

Étape 3.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{100} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{11}{10}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{11}{10}$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{11}{10} - 1})$

Étape 3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{11}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}})$

Étape 3.5

Associez $- 1$ et $\frac{10}{10}$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{11}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}})$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{\frac{- 11 - 1 \cdot 10}{10}})$

Étape 3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{\frac{- 11 - 10}{10}})$

Étape 3.7.2

Soustrayez $10$ de $- 11$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{\frac{- 21}{10}})$

Étape 3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{9}{100} (- \frac{11}{10} x^{- \frac{21}{10}})$

Étape 3.9

Associez $x^{- \frac{21}{10}}$ et $\frac{11}{10}$ .

$- \frac{9}{100} (- \frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10})$

Étape 3.10

Multipliez.

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Étape 3.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{9}{100}) \frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10}$

Étape 3.10.2

Multipliez $\frac{9}{100}$ par $1$ .

$\frac{9}{100} \cdot \frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10}$

Étape 3.11

Multipliez $\frac{9}{100}$ par $\frac{x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11}{10}$ .

$\frac{9 (x^{- \frac{21}{10}} \cdot 11)}{100 \cdot 10}$

Étape 3.12

Multipliez.

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Étape 3.12.1

Multipliez $11$ par $9$ .

$\frac{99 x^{- \frac{21}{10}}}{100 \cdot 10}$

Étape 3.12.2

Multipliez $100$ par $10$ .

$\frac{99 x^{- \frac{21}{10}}}{1000}$

Étape 3.12.3

Placez $x^{- \frac{21}{10}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{99}{1000 x^{\frac{21}{10}}}$

Étape 4

Déterminez la dérivée quatrième.

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Étape 4.1

Comme $\frac{99}{1000}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{99}{1000 x^{\frac{21}{10}}}$ par rapport à $x$ est $\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{21}{10}}}]$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{21}{10}}}]$

Étape 4.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{\frac{21}{10}}}$ comme ${(x^{\frac{21}{10}})}^{- 1}$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{21}{10}})}^{- 1}]$

Étape 4.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{21}{10}})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{\frac{21}{10} \cdot - 1}]$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $\frac{21}{10} \cdot - 1$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Associez $\frac{21}{10}$ et $- 1$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{\frac{21 \cdot - 1}{10}}]$

Étape 4.2.2.2.2

Multipliez $21$ par $- 1$ .

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 21}{10}}]$

Étape 4.2.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{99}{1000} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{21}{10}}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{21}{10}$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{21}{10} - 1})$

Étape 4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{10}{10}$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{21}{10} - 1 \cdot \frac{10}{10}})$

Étape 4.5

Associez $- 1$ et $\frac{10}{10}$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{21}{10} + \frac{- 1 \cdot 10}{10}})$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{\frac{- 21 - 1 \cdot 10}{10}})$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{\frac{- 21 - 10}{10}})$

Étape 4.7.2

Soustrayez $10$ de $- 21$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{\frac{- 31}{10}})$

Étape 4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{99}{1000} (- \frac{21}{10} x^{- \frac{31}{10}})$

Étape 4.9

Associez $x^{- \frac{31}{10}}$ et $\frac{21}{10}$ .

$\frac{99}{1000} (- \frac{x^{- \frac{31}{10}} \cdot 21}{10})$

Étape 4.10

Multipliez $\frac{99}{1000}$ par $\frac{x^{- \frac{31}{10}} \cdot 21}{10}$ .

$- \frac{99 (x^{- \frac{31}{10}} \cdot 21)}{1000 \cdot 10}$

Étape 4.11

Multipliez.

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Étape 4.11.1

Multipliez $21$ par $99$ .

$- \frac{2079 x^{- \frac{31}{10}}}{1000 \cdot 10}$

Étape 4.11.2

Multipliez $1000$ par $10$ .

$- \frac{2079 x^{- \frac{31}{10}}}{10000}$

Étape 4.11.3

Placez $x^{- \frac{31}{10}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{2079}{10000 x^{\frac{31}{10}}}$

Étape 5

La dérivée quatrième de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{2079}{10000 x^{\frac{31}{10}}}$ .

$- \frac{2079}{10000 x^{\frac{31}{10}}}$