Calcul infinitésimal Exemples

$6 x^{5} + 7 y^{5} = 13 x y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (6 x^{5} + 7 y^{5}) = \frac{d}{d x} (13 x y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{5} + 7 y^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 y^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 y^{5}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{5}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [7 y^{5}]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [7 y^{5}]$

Étape 2.2.3

Multipliez $5$ par $6$ .

$30 x^{4} + \frac{d}{d x} [7 y^{5}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 y^{5}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 y^{5}$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

$30 x^{4} + 7 \frac{d}{d x} [y^{5}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$30 x^{4} + 7 (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$30 x^{4} + 7 (5 u^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$30 x^{4} + 7 (5 y^{4} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$30 x^{4} + 7 (5 y^{4} y')$

Étape 2.3.4

Multipliez $5$ par $7$ .

$30 x^{4} + 35 y^{4} y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $13$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $13 x y$ par rapport à $x$ est $13 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$13 \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$13 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$13 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$13 (x y' + y \cdot 1)$

Étape 3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$13 (x y' + y)$

Étape 3.6

Appliquez la propriété distributive.

$13 x y' + 13 y$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$30 x^{4} + 35 y^{4} y' = 13 x y' + 13 y$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $13 x y'$ des deux côtés de l’équation.

$30 x^{4} + 35 y^{4} y' - 13 x y' = 13 y$

Étape 5.2

Soustrayez $30 x^{4}$ des deux côtés de l’équation.

$35 y^{4} y' - 13 x y' = 13 y - 30 x^{4}$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $35 y^{4} y' - 13 x y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $35 y^{4} y'$ .

$y' (35 y^{4}) - 13 x y' = 13 y - 30 x^{4}$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 13 x y'$ .

$y' (35 y^{4}) + y' (- 13 x) = 13 y - 30 x^{4}$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (35 y^{4}) + y' (- 13 x)$ .

$y' (35 y^{4} - 13 x) = 13 y - 30 x^{4}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (35 y^{4} - 13 x) = 13 y - 30 x^{4}$ par $35 y^{4} - 13 x$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (35 y^{4} - 13 x) = 13 y - 30 x^{4}$ par $35 y^{4} - 13 x$ .

$\frac{y' (35 y^{4} - 13 x)}{35 y^{4} - 13 x} = \frac{13 y}{35 y^{4} - 13 x} + \frac{- 30 x^{4}}{35 y^{4} - 13 x}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $35 y^{4} - 13 x$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (35 y^{4} - 13 x)}{35 y^{4} - 13 x} = \frac{13 y}{35 y^{4} - 13 x} + \frac{- 30 x^{4}}{35 y^{4} - 13 x}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{13 y}{35 y^{4} - 13 x} + \frac{- 30 x^{4}}{35 y^{4} - 13 x}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{13 y - 30 x^{4}}{35 y^{4} - 13 x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{13 y - 30 x^{4}}{35 y^{4} - 13 x}$