Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{3})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \frac{x - 5}{5 x + 1}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x - 5}{5 x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{5 x + 1}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{5 x + 1}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x - 5}{5 x + 1}$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x - 5}{5 x + 1}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 5$ et $g (x) = 5 x + 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 5] - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) (1 + 0) - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{(5 x + 1) \cdot 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.4.2

Multipliez $5 x + 1$ par $1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) \frac{d}{d x} [5 x + 1]}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.6

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.8

Multipliez $5$ par $1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (5 + \frac{d}{d x} [1])}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.9

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) (5 + 0)}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.10

Associez les fractions.

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Étape 3.3.10.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - (x - 5) \cdot 5}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.10.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$3 {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2} \frac{5 x + 1 - 5 (x - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.10.3

Associez $\frac{5 x + 1 - 5 (x - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}}$ et $3$ .

$\frac{(5 x + 1 - 5 (x - 5)) \cdot 3}{{(5 x + 1)}^{2}} {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2}$

Étape 3.3.10.4

Déplacez $3$ à gauche de $5 x + 1 - 5 (x - 5)$ .

$\frac{3 \cdot (5 x + 1 - 5 (x - 5))}{{(5 x + 1)}^{2}} {(\frac{x - 5}{5 x + 1})}^{2}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x - 5}{5 x + 1}$ .

$\frac{3 (5 x + 1 - 5 (x - 5))}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (5 x + 1 - 5 x - 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (5 x) + 3 \cdot 1 + 3 (- 5 x) + 3 (- 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4

Associez des termes.

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Étape 3.4.4.1

Multipliez $5$ par $3$ .

$\frac{15 x + 3 \cdot 1 + 3 (- 5 x) + 3 (- 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{15 x + 3 + 3 (- 5 x) + 3 (- 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.3

Multipliez $- 5$ par $3$ .

$\frac{15 x + 3 - 15 x + 3 (- 5 \cdot - 5)}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.4

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$\frac{15 x + 3 - 15 x + 3 \cdot 25}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.5

Multipliez $3$ par $25$ .

$\frac{15 x + 3 - 15 x + 75}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.6

Soustrayez $15 x$ de $15 x$ .

$\frac{0 + 3 + 75}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.7

Additionnez $0$ et $3$ .

$\frac{3 + 75}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.8

Additionnez $3$ et $75$ .

$\frac{78}{{(5 x + 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.9

Multipliez $\frac{78}{{(5 x + 1)}^{2}}$ par $\frac{{(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2}}$ .

$\frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2} {(5 x + 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.10

Multipliez ${(5 x + 1)}^{2}$ par ${(5 x + 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.4.10.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{2 + 2}}$

Étape 3.4.4.10.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$\frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{4}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{4}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{78 {(x - 5)}^{2}}{{(5 x + 1)}^{4}}$