Calcul infinitésimal Exemples

${(2 x - y)}^{2} - 3 y = 2$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(2 x - y)}^{2} - 3 y) = \frac{d}{d x} (2)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(2 x - y)}^{2}$ comme $(2 x - y) (2 x - y)$ .

$\frac{d}{d x} [(2 x - y) (2 x - y) - 3 y]$

Étape 2.2

Développez $(2 x - y) (2 x - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x - y) - y (2 x - y) - 3 y]$

Étape 2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x (- y) - y (2 x - y) - 3 y]$

Étape 2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [2 x (2 x) + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Étape 2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 x^{2} + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Étape 2.3.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 x (- y) - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Étape 2.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 2 \cdot - 1 x y - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - y (2 x) - y (- y) - 3 y]$

Étape 2.3.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 1 \cdot 2 y x - y (- y) - 3 y]$

Étape 2.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - y (- y) - 3 y]$

Étape 2.3.1.8

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y - 3 y]$

Étape 2.3.1.9

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.9.1

Déplacez $y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y) - 3 y]$

Étape 2.3.1.9.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x - 1 \cdot - 1 y^{2} - 3 y]$

Étape 2.3.1.10

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x + 1 y^{2} - 3 y]$

Étape 2.3.1.11

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 y x + y^{2} - 3 y]$

Étape 2.3.2

Soustrayez $2 y x$ de $- 2 x y$ .

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Étape 2.3.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 2 x y - 2 x y + y^{2} - 3 y]$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $2 x y$ de $- 2 x y$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x y + y^{2} - 3 y]$

Étape 2.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} - 4 x y + y^{2} - 3 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Étape 2.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 2.5.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Étape 2.5.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Étape 2.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

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Étape 2.6.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x y$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$8 x - 4 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Étape 2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$8 x - 4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Étape 2.6.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$8 x - 4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Étape 2.6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 x - 4 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Étape 2.6.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Étape 2.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 2.7.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.7.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Étape 2.7.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Étape 2.7.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Étape 2.7.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 3 y]$

Étape 2.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

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Étape 2.8.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 y$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 y y' - 3 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.8.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$8 x - 4 (x y' + y) + 2 y y' - 3 y'$

Étape 2.9

Simplifiez

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Étape 2.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$8 x - 4 (x y') - 4 y + 2 y y' - 3 y'$

Étape 2.9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$8 x - 4 x y' - 4 y + 2 y y' - 3 y'$

Étape 2.9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 4 x y' + 2 y y' + 8 x - 4 y - 3 y'$

Étape 3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 4 x y' + 2 y y' + 8 x - 4 y - 3 y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $8 x$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x y' + 2 y y' - 4 y - 3 y' = - 8 x$

Étape 5.1.2

Ajoutez $4 y$ aux deux côtés de l’équation.

$- 4 x y' + 2 y y' - 3 y' = - 8 x + 4 y$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 4 x y' + 2 y y' - 3 y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $- 4 x y'$ .

$y' (- 4 x) + 2 y y' - 3 y' = - 8 x + 4 y$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $2 y y'$ .

$y' (- 4 x) + y' (2 y) - 3 y' = - 8 x + 4 y$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $- 3 y'$ .

$y' (- 4 x) + y' (2 y) + y' \cdot - 3 = - 8 x + 4 y$

Étape 5.2.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 4 x) + y' (2 y)$ .

$y' (- 4 x + 2 y) + y' \cdot - 3 = - 8 x + 4 y$

Étape 5.2.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 4 x + 2 y) + y' \cdot - 3$ .

$y' (- 4 x + 2 y - 3) = - 8 x + 4 y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (- 4 x + 2 y - 3) = - 8 x + 4 y$ par $- 4 x + 2 y - 3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (- 4 x + 2 y - 3) = - 8 x + 4 y$ par $- 4 x + 2 y - 3$ .

$\frac{y' (- 4 x + 2 y - 3)}{- 4 x + 2 y - 3} = \frac{- 8 x}{- 4 x + 2 y - 3} + \frac{4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4 x + 2 y - 3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 4 x + 2 y - 3)}{- 4 x + 2 y - 3} = \frac{- 8 x}{- 4 x + 2 y - 3} + \frac{4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 8 x}{- 4 x + 2 y - 3} + \frac{4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 8 x + 4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $4$ à partir de $- 8 x + 4 y$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 8 x$ .

$y' = \frac{4 (- 2 x) + 4 y}{- 4 x + 2 y - 3}$

Étape 5.3.3.2.2

Factorisez $4$ à partir de $4 y$ .

$y' = \frac{4 (- 2 x) + 4 (y)}{- 4 x + 2 y - 3}$

Étape 5.3.3.2.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 2 x) + 4 (y)$ .

$y' = \frac{4 (- 2 x + y)}{- 4 x + 2 y - 3}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{4 (- (2 x) + y)}{- 4 x + 2 y - 3}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$y' = \frac{4 (- (2 x) - 1 (- y))}{- 4 x + 2 y - 3}$

Étape 5.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{4 (- (2 x - y))}{- 4 x + 2 y - 3}$

Étape 5.3.3.6

Réécrivez $- (2 x - y)$ comme $- 1 (2 x - y)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- 4 x + 2 y - 3}$

Étape 5.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x) + 2 y - 3}$

Étape 5.3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $2 y$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x) - (- 2 y) - 3}$

Étape 5.3.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x) - (- 2 y)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x - 2 y) - 3}$

Étape 5.3.3.10

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x - 2 y) - 1 (3)}$

Étape 5.3.3.11

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x - 2 y) - 1 (3)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- (4 x - 2 y + 3)}$

Étape 5.3.3.12

Réécrivez $- (4 x - 2 y + 3)$ comme $- 1 (4 x - 2 y + 3)$ .

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- 1 (4 x - 2 y + 3)}$

Étape 5.3.3.13

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{4 (- 1 (2 x - y))}{- 1 (4 x - 2 y + 3)}$

Étape 5.3.3.14

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{4 (2 x - y)}{4 x - 2 y + 3}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 (2 x - y)}{4 x - 2 y + 3}$