Calcul infinitésimal Exemples

$e^{5 y} + x = 7 y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (e^{5 y} + x) = \frac{d}{d x} (7 y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{5 y} + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{5 y}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{5 y}] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{5 y}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 5 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 y$ .

$e^{5 y} \frac{d}{d x} [5 y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 y$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{5 y} (5 \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$e^{5 y} (5 y') + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{5 y} (5 y') + 1$

Étape 2.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 e^{5 y} y' + 1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 y$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [y]$ .

$7 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$7 y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$5 e^{5 y} y' + 1 = 7 y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $5 e^{5 y} y' + 1$ .

$5 y' e^{5 y} + 1 = 7 y'$

Étape 5.2

Soustrayez $7 y'$ des deux côtés de l’équation.

$5 y' e^{5 y} + 1 - 7 y' = 0$

Étape 5.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$5 y' e^{5 y} - 7 y' = - 1$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $5 y' e^{5 y} - 7 y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $5 y' e^{5 y}$ .

$y' (5 e^{5 y}) - 7 y' = - 1$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 7 y'$ .

$y' (5 e^{5 y}) + y' \cdot - 7 = - 1$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (5 e^{5 y}) + y' \cdot - 7$ .

$y' (5 e^{5 y} - 7) = - 1$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (5 e^{5 y} - 7) = - 1$ par $5 e^{5 y} - 7$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (5 e^{5 y} - 7) = - 1$ par $5 e^{5 y} - 7$ .

$\frac{y' (5 e^{5 y} - 7)}{5 e^{5 y} - 7} = \frac{- 1}{5 e^{5 y} - 7}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $5 e^{5 y} - 7$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (5 e^{5 y} - 7)}{5 e^{5 y} - 7} = \frac{- 1}{5 e^{5 y} - 7}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 1}{5 e^{5 y} - 7}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1}{5 e^{5 y} - 7}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{5 e^{5 y} - 7}$