Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} - x y - 3 y - 1 = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2} - x y - 3 y - 1) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - x y - 3 y - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- x y] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$2 x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 x - (x y' + y) + \frac{d}{d x} [- 3 y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 y$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x - (x y' + y) - 3 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 x - (x y' + y) - 3 y' + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x - (x y' + y) - 3 y' + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x - (x y') - y - 3 y' + 0$

Étape 2.5.2

Additionnez $2 x - x y' - y - 3 y'$ et $0$ .

$2 x - x y' - y - 3 y'$

Étape 2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x y' + 2 x - y - 3 y'$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- x y' + 2 x - y - 3 y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$- x y' - y - 3 y' = - 2 x$

Étape 5.1.2

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$- x y' - 3 y' = - 2 x + y$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $- x y' - 3 y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $- x y'$ .

$y' (- x) - 3 y' = - 2 x + y$

Étape 5.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 3 y'$ .

$y' (- x) + y' \cdot - 3 = - 2 x + y$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- x) + y' \cdot - 3$ .

$y' (- x - 3) = - 2 x + y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (- x - 3) = - 2 x + y$ par $- x - 3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (- x - 3) = - 2 x + y$ par $- x - 3$ .

$\frac{y' (- x - 3)}{- x - 3} = \frac{- 2 x}{- x - 3} + \frac{y}{- x - 3}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- x - 3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- x - 3)}{- x - 3} = \frac{- 2 x}{- x - 3} + \frac{y}{- x - 3}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- x - 3} + \frac{y}{- x - 3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 x}{- x - 3} + \frac{y}{- x - 3}$

Étape 5.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 2 x + y}{- x - 3}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) + y}{- x - 3}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- y)}{- x - 3}$

Étape 5.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (2 x - y)}{- x - 3}$

Étape 5.3.3.6

Réécrivez $- (2 x - y)$ comme $- 1 (2 x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- x - 3}$

Étape 5.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - 3}$

Étape 5.3.3.8

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x) - 1 (3)}$

Étape 5.3.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (3)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- (x + 3)}$

Étape 5.3.3.10

Réécrivez $- (x + 3)$ comme $- 1 (x + 3)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x + 3)}$

Étape 5.3.3.11

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 1 (2 x - y)}{- 1 (x + 3)}$

Étape 5.3.3.12

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2 x - y}{x + 3}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y}{x + 3}$