Calcul infinitésimal Exemples

$y^{6} - 7 x^{5} = 7 x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{6} - 7 x^{5}) = \frac{d}{d x} (7 x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{6} - 7 x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{6}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{6}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$6 y^{5} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 y^{5} y' + \frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 7 x^{5}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 7 x^{5}$ par rapport à $x$ est $- 7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 y^{5} y' - 7 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$6 y^{5} y' - 7 (5 x^{4})$

Étape 2.3.3

Multipliez $5$ par $- 7$ .

$6 y^{5} y' - 35 x^{4}$

Étape 2.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 35 x^{4} + 6 y^{5} y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$7$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 35 x^{4} + 6 y^{5} y' = 7$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $35 x^{4}$ aux deux côtés de l’équation.

$6 y^{5} y' = 7 + 35 x^{4}$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $6 y^{5} y' = 7 + 35 x^{4}$ par $6 y^{5}$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $6 y^{5} y' = 7 + 35 x^{4}$ par $6 y^{5}$ .

$\frac{6 y^{5} y'}{6 y^{5}} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 y^{5} y'}{6 y^{5}} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{5} y'}{y^{5}} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{5}$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{5} y'}{y^{5}} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{7}{6 y^{5}} + \frac{35 x^{4}}{6 y^{5}}$