Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{1}{\sqrt{x + \sqrt[3]{x}}}$

Étape 1

Réécrivez le côté droit avec des exposants rationnels.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{1}{\sqrt{x + x^{\frac{1}{3}}}}$

Étape 1.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + x^{\frac{1}{3}}}$ comme ${(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Réécrivez $\frac{1}{{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}}}$ comme ${({(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Étape 4.1.2

Multipliez les exposants dans ${({(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Étape 4.1.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{- 1}{2}}]$

Étape 4.1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d}{d x} [{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + x^{\frac{1}{3}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + x^{\frac{1}{3}}$ .

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 4.7

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 4.7.2

Associez ${(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 4.7.3

Placez ${(x + x^{\frac{1}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{3}}]$

Étape 4.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + x^{\frac{1}{3}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Étape 4.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Étape 4.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Étape 4.11

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 4.12

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 4.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 4.14

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.14.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Étape 4.14.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Étape 4.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Étape 4.16

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Étape 4.17

Placez $x^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

Étape 4.18

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.18.1

Réorganisez les facteurs de $- \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ .

$- (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.18.2

Appliquez la propriété distributive.

$(- 1 \cdot 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.18.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(- 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.18.4

Multipliez $- 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ par $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.18.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.18.5.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.18.5.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) - \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.18.5.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{- 1 (1) - (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.18.5.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ .

$\frac{- 1 (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.18.5.1.4

Réécrivez $- 1 (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ comme $- (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$ .

$\frac{- (1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.18.5.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{- (\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.18.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.18.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 4.18.7

Multipliez $- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.18.7.1

Multipliez $\frac{1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}}}$ par $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{2 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} (3 x^{\frac{2}{3}})}$

Étape 4.18.7.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{6 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{6 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{\frac{2}{3}} + 1}{6 {(x + x^{\frac{1}{3}})}^{\frac{3}{2}} x^{\frac{2}{3}}}$