Calcul infinitésimal Exemples

$p = (\frac{q^{8} + 4}{2 q}) (\frac{q^{7} + 6}{q})$

Étape 1

Multipliez $\frac{q^{8} + 4}{2 q}$ par $\frac{q^{7} + 6}{q}$ .

$p = \frac{q^{8} + 4}{2 q} \cdot (\frac{q^{7} + 6}{q})$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (\frac{q^{8} + 4}{2 q} \cdot (\frac{q^{7} + 6}{q}))$

Étape 3

La dérivée de $p$ par rapport à $q$ est $p'$ .

$p'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{q^{8} + 4}{2 q}$ par $\frac{q^{7} + 6}{q}$ .

$\frac{d}{d q} [\frac{(q^{8} + 4) (q^{7} + 6)}{2 q \cdot q}]$

Étape 4.2

Élevez $q$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d q} [\frac{(q^{8} + 4) (q^{7} + 6)}{2 (q^{1} q)}]$

Étape 4.3

Élevez $q$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d q} [\frac{(q^{8} + 4) (q^{7} + 6)}{2 (q^{1} q^{1})}]$

Étape 4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d q} [\frac{(q^{8} + 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{1 + 1}}]$

Étape 4.5

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 4.5.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d}{d q} [\frac{(q^{8} + 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{2}}]$

Étape 4.5.2

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $q$ , la dérivée de $\frac{(q^{8} + 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{2}}$ par rapport à $q$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d q} [\frac{(q^{8} + 4) (q^{7} + 6)}{q^{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d q} [\frac{(q^{8} + 4) (q^{7} + 6)}{q^{2}}]$

Étape 4.6

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ est $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ où $f (q) = (q^{8} + 4) (q^{7} + 6)$ et $g (q) = q^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{q^{2} \frac{d}{d q} [(q^{8} + 4) (q^{7} + 6)] - (q^{8} + 4) (q^{7} + 6) \frac{d}{d q} [q^{2}]}{{(q^{2})}^{2}}$

Étape 4.7

Multipliez les exposants dans ${(q^{2})}^{2}$ .

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Étape 4.7.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{q^{2} \frac{d}{d q} [(q^{8} + 4) (q^{7} + 6)] - (q^{8} + 4) (q^{7} + 6) \frac{d}{d q} [q^{2}]}{q^{2 \cdot 2}}$

Étape 4.7.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{q^{2} \frac{d}{d q} [(q^{8} + 4) (q^{7} + 6)] - (q^{8} + 4) (q^{7} + 6) \frac{d}{d q} [q^{2}]}{q^{4}}$

Étape 4.8

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d q} [f (q) g (q)]$ est $f (q) \frac{d}{d q} [g (q)] + g (q) \frac{d}{d q} [f (q)]$ où $f (q) = q^{8} + 4$ et $g (q) = q^{7} + 6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{q^{2} ((q^{8} + 4) \frac{d}{d q} [q^{7} + 6] + (q^{7} + 6) \frac{d}{d q} [q^{8} + 4]) - (q^{8} + 4) (q^{7} + 6) \frac{d}{d q} [q^{2}]}{q^{4}}$

Étape 4.9

Différenciez.

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Étape 4.9.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $q^{7} + 6$ par rapport à $q$ est $\frac{d}{d q} [q^{7}] + \frac{d}{d q} [6]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{q^{2} ((q^{8} + 4) (\frac{d}{d q} [q^{7}] + \frac{d}{d q} [6]) + (q^{7} + 6) \frac{d}{d q} [q^{8} + 4]) - (q^{8} + 4) (q^{7} + 6) \frac{d}{d q} [q^{2}]}{q^{4}}$

Étape 4.9.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ est $n q^{n - 1}$ où $n = 7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{q^{2} ((q^{8} + 4) (7 q^{6} + \frac{d}{d q} [6]) + (q^{7} + 6) \frac{d}{d q} [q^{8} + 4]) - (q^{8} + 4) (q^{7} + 6) \frac{d}{d q} [q^{2}]}{q^{4}}$

Étape 4.9.3

Comme $6$ est constant par rapport à $q$ , la dérivée de $6$ par rapport à $q$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{q^{2} ((q^{8} + 4) (7 q^{6} + 0) + (q^{7} + 6) \frac{d}{d q} [q^{8} + 4]) - (q^{8} + 4) (q^{7} + 6) \frac{d}{d q} [q^{2}]}{q^{4}}$

Étape 4.9.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.9.4.1

Additionnez $7 q^{6}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{q^{2} ((q^{8} + 4) (7 q^{6}) + (q^{7} + 6) \frac{d}{d q} [q^{8} + 4]) - (q^{8} + 4) (q^{7} + 6) \frac{d}{d q} [q^{2}]}{q^{4}}$

Étape 4.9.4.2

Déplacez $7$ à gauche de $q^{8} + 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{q^{2} (7 \cdot (q^{8} + 4) q^{6} + (q^{7} + 6) \frac{d}{d q} [q^{8} + 4]) - (q^{8} + 4) (q^{7} + 6) \frac{d}{d q} [q^{2}]}{q^{4}}$

Étape 4.9.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $q^{8} + 4$ par rapport à $q$ est $\frac{d}{d q} [q^{8}] + \frac{d}{d q} [4]$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{q^{2} (7 (q^{8} + 4) q^{6} + (q^{7} + 6) (\frac{d}{d q} [q^{8}] + \frac{d}{d q} [4])) - (q^{8} + 4) (q^{7} + 6) \frac{d}{d q} [q^{2}]}{q^{4}}$

Étape 4.9.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ est $n q^{n - 1}$ où $n = 8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{q^{2} (7 (q^{8} + 4) q^{6} + (q^{7} + 6) (8 q^{7} + \frac{d}{d q} [4])) - (q^{8} + 4) (q^{7} + 6) \frac{d}{d q} [q^{2}]}{q^{4}}$

Étape 4.9.7

Comme $4$ est constant par rapport à $q$ , la dérivée de $4$ par rapport à $q$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{q^{2} (7 (q^{8} + 4) q^{6} + (q^{7} + 6) (8 q^{7} + 0)) - (q^{8} + 4) (q^{7} + 6) \frac{d}{d q} [q^{2}]}{q^{4}}$

Étape 4.9.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.9.8.1

Additionnez $8 q^{7}$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{q^{2} (7 (q^{8} + 4) q^{6} + (q^{7} + 6) (8 q^{7})) - (q^{8} + 4) (q^{7} + 6) \frac{d}{d q} [q^{2}]}{q^{4}}$

Étape 4.9.8.2

Déplacez $8$ à gauche de $q^{7} + 6$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{q^{2} (7 (q^{8} + 4) q^{6} + 8 \cdot (q^{7} + 6) q^{7}) - (q^{8} + 4) (q^{7} + 6) \frac{d}{d q} [q^{2}]}{q^{4}}$

Étape 4.9.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d q} [q^{n}]$ est $n q^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{q^{2} (7 (q^{8} + 4) q^{6} + 8 (q^{7} + 6) q^{7}) - (q^{8} + 4) (q^{7} + 6) (2 q)}{q^{4}}$

Étape 4.9.10

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.9.10.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{q^{2} (7 (q^{8} + 4) q^{6} + 8 (q^{7} + 6) q^{7}) - 2 (q^{8} + 4) (q^{7} + 6) q}{q^{4}}$

Étape 4.9.10.2

Factorisez $q$ à partir de $q^{2} (7 (q^{8} + 4) q^{6} + 8 (q^{7} + 6) q^{7}) - 2 (q^{8} + 4) (q^{7} + 6) q$ .

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Étape 4.9.10.2.1

Factorisez $q$ à partir de $q^{2} (7 (q^{8} + 4) q^{6} + 8 (q^{7} + 6) q^{7})$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{q (q (7 (q^{8} + 4) q^{6} + 8 (q^{7} + 6) q^{7})) - 2 (q^{8} + 4) (q^{7} + 6) q}{q^{4}}$

Étape 4.9.10.2.2

Factorisez $q$ à partir de $- 2 (q^{8} + 4) (q^{7} + 6) q$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{q (q (7 (q^{8} + 4) q^{6} + 8 (q^{7} + 6) q^{7})) + q (- 2 (q^{8} + 4) (q^{7} + 6))}{q^{4}}$

Étape 4.9.10.2.3

Factorisez $q$ à partir de $q (q (7 (q^{8} + 4) q^{6} + 8 (q^{7} + 6) q^{7})) + q (- 2 (q^{8} + 4) (q^{7} + 6))$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{q (q (7 (q^{8} + 4) q^{6} + 8 (q^{7} + 6) q^{7}) - 2 (q^{8} + 4) (q^{7} + 6))}{q^{4}}$

Étape 4.10

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.10.1

Factorisez $q$ à partir de $q^{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{q (q (7 (q^{8} + 4) q^{6} + 8 (q^{7} + 6) q^{7}) - 2 (q^{8} + 4) (q^{7} + 6))}{q \cdot q^{3}}$

Étape 4.10.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{q (q (7 (q^{8} + 4) q^{6} + 8 (q^{7} + 6) q^{7}) - 2 (q^{8} + 4) (q^{7} + 6))}{q \cdot q^{3}}$

Étape 4.10.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{q (7 (q^{8} + 4) q^{6} + 8 (q^{7} + 6) q^{7}) - 2 (q^{8} + 4) (q^{7} + 6)}{q^{3}}$

Étape 4.11

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{q (7 (q^{8} + 4) q^{6} + 8 (q^{7} + 6) q^{7}) - 2 (q^{8} + 4) (q^{7} + 6)}{q^{3}}$ .

$\frac{q (7 (q^{8} + 4) q^{6} + 8 (q^{7} + 6) q^{7}) - 2 (q^{8} + 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12

Simplifiez

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Étape 4.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{q ((7 q^{8} + 7 \cdot 4) q^{6} + 8 (q^{7} + 6) q^{7}) - 2 (q^{8} + 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{q (7 q^{8} q^{6} + 7 \cdot 4 q^{6} + 8 (q^{7} + 6) q^{7}) - 2 (q^{8} + 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{q (7 q^{8} q^{6} + 7 \cdot 4 q^{6} + (8 q^{7} + 8 \cdot 6) q^{7}) - 2 (q^{8} + 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{q (7 q^{8} q^{6} + 7 \cdot 4 q^{6} + 8 q^{7} q^{7} + 8 \cdot 6 q^{7}) - 2 (q^{8} + 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{q (7 q^{8} q^{6}) + q (7 \cdot 4 q^{6}) + q (8 q^{7} q^{7}) + q (8 \cdot 6 q^{7}) - 2 (q^{8} + 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{q (7 q^{8} q^{6}) + q (7 \cdot 4 q^{6}) + q (8 q^{7} q^{7}) + q (8 \cdot 6 q^{7}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.12.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.12.7.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{7 q (q^{8} q^{6}) + q (7 \cdot 4 q^{6}) + q (8 q^{7} q^{7}) + q (8 \cdot 6 q^{7}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.2

Multipliez $q$ par $q^{8}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.12.7.1.2.1

Déplacez $q^{8}$ .

$\frac{7 (q^{8} q) q^{6} + q (7 \cdot 4 q^{6}) + q (8 q^{7} q^{7}) + q (8 \cdot 6 q^{7}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.2.2

Multipliez $q^{8}$ par $q$ .

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Étape 4.12.7.1.2.2.1

Élevez $q$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 (q^{8} q^{1}) q^{6} + q (7 \cdot 4 q^{6}) + q (8 q^{7} q^{7}) + q (8 \cdot 6 q^{7}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7 q^{8 + 1} q^{6} + q (7 \cdot 4 q^{6}) + q (8 q^{7} q^{7}) + q (8 \cdot 6 q^{7}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.2.3

Additionnez $8$ et $1$ .

$\frac{7 q^{9} q^{6} + q (7 \cdot 4 q^{6}) + q (8 q^{7} q^{7}) + q (8 \cdot 6 q^{7}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.3

Multipliez $q^{9}$ par $q^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.12.7.1.3.1

Déplacez $q^{6}$ .

$\frac{7 (q^{6} q^{9}) + q (7 \cdot 4 q^{6}) + q (8 q^{7} q^{7}) + q (8 \cdot 6 q^{7}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7 q^{6 + 9} + q (7 \cdot 4 q^{6}) + q (8 q^{7} q^{7}) + q (8 \cdot 6 q^{7}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.3.3

Additionnez $6$ et $9$ .

$\frac{7 q^{15} + q (7 \cdot 4 q^{6}) + q (8 q^{7} q^{7}) + q (8 \cdot 6 q^{7}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{7 q^{15} + 7 \cdot 4 q \cdot q^{6} + q (8 q^{7} q^{7}) + q (8 \cdot 6 q^{7}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.5

Multipliez $q$ par $q^{6}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.12.7.1.5.1

Déplacez $q^{6}$ .

$\frac{7 q^{15} + 7 \cdot 4 (q^{6} q) + q (8 q^{7} q^{7}) + q (8 \cdot 6 q^{7}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.5.2

Multipliez $q^{6}$ par $q$ .

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Étape 4.12.7.1.5.2.1

Élevez $q$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 q^{15} + 7 \cdot 4 (q^{6} q^{1}) + q (8 q^{7} q^{7}) + q (8 \cdot 6 q^{7}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7 q^{15} + 7 \cdot 4 q^{6 + 1} + q (8 q^{7} q^{7}) + q (8 \cdot 6 q^{7}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.5.3

Additionnez $6$ et $1$ .

$\frac{7 q^{15} + 7 \cdot 4 q^{7} + q (8 q^{7} q^{7}) + q (8 \cdot 6 q^{7}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.6

Multipliez $7$ par $4$ .

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + q (8 q^{7} q^{7}) + q (8 \cdot 6 q^{7}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.7

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + 8 q (q^{7} q^{7}) + q (8 \cdot 6 q^{7}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.8

Multipliez $q$ par $q^{7}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.12.7.1.8.1

Déplacez $q^{7}$ .

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + 8 (q^{7} q) q^{7} + q (8 \cdot 6 q^{7}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.8.2

Multipliez $q^{7}$ par $q$ .

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Étape 4.12.7.1.8.2.1

Élevez $q$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + 8 (q^{7} q^{1}) q^{7} + q (8 \cdot 6 q^{7}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + 8 q^{7 + 1} q^{7} + q (8 \cdot 6 q^{7}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.8.3

Additionnez $7$ et $1$ .

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + 8 q^{8} q^{7} + q (8 \cdot 6 q^{7}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.9

Multipliez $q^{8}$ par $q^{7}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.12.7.1.9.1

Déplacez $q^{7}$ .

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + 8 (q^{7} q^{8}) + q (8 \cdot 6 q^{7}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.9.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + 8 q^{7 + 8} + q (8 \cdot 6 q^{7}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.9.3

Additionnez $7$ et $8$ .

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + 8 q^{15} + q (8 \cdot 6 q^{7}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.10

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + 8 q^{15} + 8 \cdot 6 q \cdot q^{7} + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.11

Multipliez $q$ par $q^{7}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.12.7.1.11.1

Déplacez $q^{7}$ .

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + 8 q^{15} + 8 \cdot 6 (q^{7} q) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.11.2

Multipliez $q^{7}$ par $q$ .

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Étape 4.12.7.1.11.2.1

Élevez $q$ à la puissance $1$ .

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + 8 q^{15} + 8 \cdot 6 (q^{7} q^{1}) + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.11.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + 8 q^{15} + 8 \cdot 6 q^{7 + 1} + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.11.3

Additionnez $7$ et $1$ .

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + 8 q^{15} + 8 \cdot 6 q^{8} + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.12

Multipliez $8$ par $6$ .

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + 8 q^{15} + 48 q^{8} + (- 2 q^{8} - 2 \cdot 4) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.13

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + 8 q^{15} + 48 q^{8} + (- 2 q^{8} - 8) (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.14

Développez $(- 2 q^{8} - 8) (q^{7} + 6)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.12.7.1.14.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + 8 q^{15} + 48 q^{8} - 2 q^{8} (q^{7} + 6) - 8 (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.14.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + 8 q^{15} + 48 q^{8} - 2 q^{8} q^{7} - 2 q^{8} \cdot 6 - 8 (q^{7} + 6)}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.14.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + 8 q^{15} + 48 q^{8} - 2 q^{8} q^{7} - 2 q^{8} \cdot 6 - 8 q^{7} - 8 \cdot 6}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.12.7.1.15.1

Multipliez $q^{8}$ par $q^{7}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.12.7.1.15.1.1

Déplacez $q^{7}$ .

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + 8 q^{15} + 48 q^{8} - 2 (q^{7} q^{8}) - 2 q^{8} \cdot 6 - 8 q^{7} - 8 \cdot 6}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.15.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + 8 q^{15} + 48 q^{8} - 2 q^{7 + 8} - 2 q^{8} \cdot 6 - 8 q^{7} - 8 \cdot 6}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.15.1.3

Additionnez $7$ et $8$ .

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + 8 q^{15} + 48 q^{8} - 2 q^{15} - 2 q^{8} \cdot 6 - 8 q^{7} - 8 \cdot 6}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.15.2

Multipliez $6$ par $- 2$ .

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + 8 q^{15} + 48 q^{8} - 2 q^{15} - 12 q^{8} - 8 q^{7} - 8 \cdot 6}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.1.15.3

Multipliez $- 8$ par $6$ .

$\frac{7 q^{15} + 28 q^{7} + 8 q^{15} + 48 q^{8} - 2 q^{15} - 12 q^{8} - 8 q^{7} - 48}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.2

Additionnez $7 q^{15}$ et $8 q^{15}$ .

$\frac{15 q^{15} + 28 q^{7} + 48 q^{8} - 2 q^{15} - 12 q^{8} - 8 q^{7} - 48}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.3

Soustrayez $2 q^{15}$ de $15 q^{15}$ .

$\frac{13 q^{15} + 28 q^{7} + 48 q^{8} - 12 q^{8} - 8 q^{7} - 48}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.4

Soustrayez $8 q^{7}$ de $28 q^{7}$ .

$\frac{13 q^{15} + 48 q^{8} - 12 q^{8} + 20 q^{7} - 48}{2 q^{3}}$

Étape 4.12.7.5

Soustrayez $12 q^{8}$ de $48 q^{8}$ .

$\frac{13 q^{15} + 36 q^{8} + 20 q^{7} - 48}{2 q^{3}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$p' = \frac{13 q^{15} + 36 q^{8} + 20 q^{7} - 48}{2 q^{3}}$

Étape 6

Remplacez $p'$ par $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = \frac{13 q^{15} + 36 q^{8} + 20 q^{7} - 48}{2 q^{3}}$