Calcul infinitésimal Exemples

$6 e^{5 t} = 3 e^{2 t}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (6 e^{5 t}) = \ln (3 e^{2 t})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

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Étape 2.1

Réécrivez $\ln (6 e^{5 t})$ comme $\ln (6) + \ln (e^{5 t})$ .

$\ln (6) + \ln (e^{5 t}) = \ln (3 e^{2 t})$

Étape 2.2

Développez $\ln (e^{5 t})$ en déplaçant $5 t$ hors du logarithme.

$\ln (6) + 5 t \ln (e) = \ln (3 e^{2 t})$

Étape 2.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (6) + 5 t \cdot 1 = \ln (3 e^{2 t})$

Étape 2.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$\ln (6) + 5 t = \ln (3 e^{2 t})$

Étape 3

Développez le côté droit.

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Étape 3.1

Réécrivez $\ln (3 e^{2 t})$ comme $\ln (3) + \ln (e^{2 t})$ .

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + \ln (e^{2 t})$

Étape 3.2

Développez $\ln (e^{2 t})$ en déplaçant $2 t$ hors du logarithme.

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + 2 t \ln (e)$

Étape 3.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + 2 t \cdot 1$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\ln (6) + 5 t = \ln (3) + 2 t$

Étape 4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (6) - \ln (3) = - 5 t + 2 t$

Étape 5

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{6}{3}) = - 5 t + 2 t$

Étape 6

Divisez $6$ par $3$ .

$\ln (2) = - 5 t + 2 t$

Étape 7

Additionnez $- 5 t$ et $2 t$ .

$\ln (2) = - 3 t$

Étape 8

Comme $t$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$- 3 t = \ln (2)$

Étape 9

Divisez chaque terme dans $- 3 t = \ln (2)$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 9.1

Divisez chaque terme dans $- 3 t = \ln (2)$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 t}{- 3} = \frac{\ln (2)}{- 3}$

Étape 9.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 9.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 t}{- 3} = \frac{\ln (2)}{- 3}$

Étape 9.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{\ln (2)}{- 3}$

Étape 9.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 9.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$t = - \frac{\ln (2)}{3}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$t = - \frac{\ln (2)}{3}$

Forme décimale :

$t = - 0.23104906 \dots$