Calcul infinitésimal Exemples

$7 \cdot 3^{t} = 5 \cdot 2^{t}$

Étape 1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (7 \cdot 3^{t}) = \ln (5 \cdot 2^{t})$

Étape 2

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Réécrivez $\ln (7 \cdot 3^{t})$ comme $\ln (7) + \ln (3^{t})$ .

$\ln (7) + \ln (3^{t}) = \ln (5 \cdot 2^{t})$

Étape 2.2

Développez $\ln (3^{t})$ en déplaçant $t$ hors du logarithme.

$\ln (7) + t \ln (3) = \ln (5 \cdot 2^{t})$

Étape 3

Développez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez $\ln (5 \cdot 2^{t})$ comme $\ln (5) + \ln (2^{t})$ .

$\ln (7) + t \ln (3) = \ln (5) + \ln (2^{t})$

Étape 3.2

Développez $\ln (2^{t})$ en déplaçant $t$ hors du logarithme.

$\ln (7) + t \ln (3) = \ln (5) + t \ln (2)$

Étape 4

Remettez dans l’ordre $\ln (7)$ et $t \ln (3)$ .

$t \ln (3) + \ln (7) = \ln (5) + t \ln (2)$

Étape 5

Remettez dans l’ordre $\ln (5)$ et $t \ln (2)$ .

$t \ln (3) + \ln (7) = t \ln (2) + \ln (5)$

Étape 6

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$t \ln (3) + \ln (7) - t \ln (2) - \ln (5) = 0$

Étape 7

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$t \ln (3) - t \ln (2) + \ln (\frac{7}{5}) = 0$

Étape 8

Soustrayez $\ln (\frac{7}{5})$ des deux côtés de l’équation.

$t \ln (3) - t \ln (2) = - \ln (\frac{7}{5})$

Étape 9

Factorisez $t$ à partir de $t \ln (3) - t \ln (2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Factorisez $t$ à partir de $t \ln (3)$ .

$t (\ln (3)) - t \ln (2) = - \ln (\frac{7}{5})$

Étape 9.2

Factorisez $t$ à partir de $- t \ln (2)$ .

$t (\ln (3)) + t (- 1 \ln (2)) = - \ln (\frac{7}{5})$

Étape 9.3

Factorisez $t$ à partir de $t (\ln (3)) + t (- 1 \ln (2))$ .

$t (\ln (3) - 1 \ln (2)) = - \ln (\frac{7}{5})$

Étape 10

Réécrivez $- 1 \ln (2)$ comme $- \ln (2)$ .

$t (\ln (3) - \ln (2)) = - \ln (\frac{7}{5})$

Étape 11

Divisez chaque terme dans $t (\ln (3) - \ln (2)) = - \ln (\frac{7}{5})$ par $\ln (3) - \ln (2)$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Divisez chaque terme dans $t (\ln (3) - \ln (2)) = - \ln (\frac{7}{5})$ par $\ln (3) - \ln (2)$ .

$\frac{t (\ln (3) - \ln (2))}{\ln (3) - \ln (2)} = \frac{- \ln (\frac{7}{5})}{\ln (3) - \ln (2)}$

Étape 11.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3) - \ln (2)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t (\ln (3) - \ln (2))}{\ln (3) - \ln (2)} = \frac{- \ln (\frac{7}{5})}{\ln (3) - \ln (2)}$

Étape 11.2.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{- \ln (\frac{7}{5})}{\ln (3) - \ln (2)}$

Étape 11.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$t = - \frac{\ln (\frac{7}{5})}{\ln (3) - \ln (2)}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$t = - \frac{\ln (\frac{7}{5})}{\ln (3) - \ln (2)}$

Forme décimale :

$t = - 0.82984264 \dots$