Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d π}{d t} = k P (L - P) (P - k)$

Étape 1

Réduisez l’expression $\frac{d π}{d t}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d π}{d t} = k P (L - P) (P - k)$

Étape 1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{t} = k P (L - P) (P - k)$

Étape 2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$t, 1$

Étape 2.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$t$

Étape 2.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{π}{t} = k P (L - P) (P - k)$ par $t$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{π}{t} = k P (L - P) (P - k)$ par $t$ .

$\frac{π}{t} t = k P (L - P) (P - k) t$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $t$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π}{t} t = k P (L - P) (P - k) t$

Étape 2.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$π = k P (L - P) (P - k) t$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$π = (k P L + k P (- P)) (P - k) t$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$π = (k P L - k P \cdot P) (P - k) t$

Étape 2.2.3.3

Multipliez $P$ par $P$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.3.3.1

Déplacez $P$ .

$π = (k P L - k (P \cdot P)) (P - k) t$

Étape 2.2.3.3.2

Multipliez $P$ par $P$ .

$π = (k P L - k P^{2}) (P - k) t$

Étape 2.2.3.4

Développez $(k P L - k P^{2}) (P - k)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$π = (k P L (P - k) - k P^{2} (P - k)) t$

Étape 2.2.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$π = (k P L P + k P L (- k) - k P^{2} (P - k)) t$

Étape 2.2.3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$π = (k P L P + k P L (- k) - k P^{2} P - k P^{2} (- k)) t$

Étape 2.2.3.5

Simplifiez les termes.

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Étape 2.2.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.5.1.1

Multipliez $P$ par $P$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.3.5.1.1.1

Déplacez $P$ .

$π = (k (P \cdot P) L + k P L (- k) - k P^{2} P - k P^{2} (- k)) t$

Étape 2.2.3.5.1.1.2

Multipliez $P$ par $P$ .

$π = (k P^{2} L + k P L (- k) - k P^{2} P - k P^{2} (- k)) t$

Étape 2.2.3.5.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$π = (k P^{2} L - k P L k - k P^{2} P - k P^{2} (- k)) t$

Étape 2.2.3.5.1.3

Multipliez $k$ par $k$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.3.5.1.3.1

Déplacez $k$ .

$π = (k P^{2} L - (k \cdot k) P L - k P^{2} P - k P^{2} (- k)) t$

Étape 2.2.3.5.1.3.2

Multipliez $k$ par $k$ .

$π = (k P^{2} L - k^{2} P L - k P^{2} P - k P^{2} (- k)) t$

Étape 2.2.3.5.1.4

Multipliez $P^{2}$ par $P$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.3.5.1.4.1

Déplacez $P$ .

$π = (k P^{2} L - k^{2} P L - k (P \cdot P^{2}) - k P^{2} (- k)) t$

Étape 2.2.3.5.1.4.2

Multipliez $P$ par $P^{2}$ .

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Étape 2.2.3.5.1.4.2.1

Élevez $P$ à la puissance $1$ .

$π = (k P^{2} L - k^{2} P L - k (P^{1} P^{2}) - k P^{2} (- k)) t$

Étape 2.2.3.5.1.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$π = (k P^{2} L - k^{2} P L - k P^{1 + 2} - k P^{2} (- k)) t$

Étape 2.2.3.5.1.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$π = (k P^{2} L - k^{2} P L - k P^{3} - k P^{2} (- k)) t$

Étape 2.2.3.5.1.5

Multipliez $k$ par $k$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.3.5.1.5.1

Déplacez $k$ .

$π = (k P^{2} L - k^{2} P L - k P^{3} - (k \cdot k) P^{2} \cdot - 1) t$

Étape 2.2.3.5.1.5.2

Multipliez $k$ par $k$ .

$π = (k P^{2} L - k^{2} P L - k P^{3} - k^{2} P^{2} \cdot - 1) t$

Étape 2.2.3.5.1.6

Multipliez $- k^{2} P^{2} \cdot - 1$ .

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Étape 2.2.3.5.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$π = (k P^{2} L - k^{2} P L - k P^{3} + 1 k^{2} P^{2}) t$

Étape 2.2.3.5.1.6.2

Multipliez $k^{2}$ par $1$ .

$π = (k P^{2} L - k^{2} P L - k P^{3} + k^{2} P^{2}) t$

Étape 2.2.3.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$π = k P^{2} L t - k^{2} P L t - k P^{3} t + k^{2} P^{2} t$

Étape 2.3

Résolvez l’équation.

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Étape 2.3.1

Réécrivez l’équation comme $k P^{2} L t - k^{2} P L t - k P^{3} t + k^{2} P^{2} t = π$ .

$k P^{2} L t - k^{2} P L t - k P^{3} t + k^{2} P^{2} t = π$

Étape 2.3.2

Factorisez $k P t$ à partir de $k P^{2} L t - k^{2} P L t - k P^{3} t + k^{2} P^{2} t$ .

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $k P t$ à partir de $k P^{2} L t$ .

$k P t (P L) - k^{2} P L t - k P^{3} t + k^{2} P^{2} t = π$

Étape 2.3.2.2

Factorisez $k P t$ à partir de $- k^{2} P L t$ .

$k P t (P L) + k P t (- k L) - k P^{3} t + k^{2} P^{2} t = π$

Étape 2.3.2.3

Factorisez $k P t$ à partir de $- k P^{3} t$ .

$k P t (P L) + k P t (- k L) + k P t (- 1 P^{2}) + k^{2} P^{2} t = π$

Étape 2.3.2.4

Factorisez $k P t$ à partir de $k^{2} P^{2} t$ .

$k P t (P L) + k P t (- k L) + k P t (- 1 P^{2}) + k P t (k P) = π$

Étape 2.3.2.5

Factorisez $k P t$ à partir de $k P t (P L) + k P t (- k L)$ .

$k P t (P L - k L) + k P t (- 1 P^{2}) + k P t (k P) = π$

Étape 2.3.2.6

Factorisez $k P t$ à partir de $k P t (P L - k L) + k P t (- 1 P^{2})$ .

$k P t (P L - k L - 1 P^{2}) + k P t (k P) = π$

Étape 2.3.2.7

Factorisez $k P t$ à partir de $k P t (P L - k L - 1 P^{2}) + k P t (k P)$ .

$k P t (P L - k L - 1 P^{2} + k P) = π$

Étape 2.3.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.3.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$k P t ((P L - k L) - 1 P^{2} + k P) = π$

Étape 2.3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$k P t (L (P - k) - 1 P (P - k)) = π$

Étape 2.3.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $P - k$ .

$k P t ((P - k) (L - 1 P)) = π$

Étape 2.3.5

Factorisez.

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Étape 2.3.5.1

Réécrivez $- 1 P$ comme $- P$ .

$k P t ((P - k) (L - P)) = π$

Étape 2.3.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$k P t (P - k) (L - P) = π$

Étape 2.3.6

Divisez chaque terme dans $k P t (P - k) (L - P) = π$ par $k P (P - k) (L - P)$ et simplifiez.

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Étape 2.3.6.1

Divisez chaque terme dans $k P t (P - k) (L - P) = π$ par $k P (P - k) (L - P)$ .

$\frac{k P t (P - k) (L - P)}{k P (P - k) (L - P)} = \frac{π}{k P (P - k) (L - P)}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.6.2.1

Annulez le facteur commun de $k$ .

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Étape 2.3.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{k P t (P - k) (L - P)}{k P (P - k) (L - P)} = \frac{π}{k P (P - k) (L - P)}$

Étape 2.3.6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(P t (P - k)) (L - P)}{(P (P - k)) (L - P)} = \frac{π}{k P (P - k) (L - P)}$

Étape 2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun de $P$ .

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Étape 2.3.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{P t (P - k) (L - P)}{P (P - k) (L - P)} = \frac{π}{k P (P - k) (L - P)}$

Étape 2.3.6.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(t (P - k)) (L - P)}{(P - k) (L - P)} = \frac{π}{k P (P - k) (L - P)}$

Étape 2.3.6.2.3

Annulez le facteur commun de $P - k$ .

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Étape 2.3.6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t (P - k) (L - P)}{(P - k) (L - P)} = \frac{π}{k P (P - k) (L - P)}$

Étape 2.3.6.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(t) (L - P)}{L - P} = \frac{π}{k P (P - k) (L - P)}$

Étape 2.3.6.2.4

Annulez le facteur commun de $L - P$ .

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Étape 2.3.6.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t (L - P)}{L - P} = \frac{π}{k P (P - k) (L - P)}$

Étape 2.3.6.2.4.2

Divisez $t$ par $1$ .

$t = \frac{π}{k P (P - k) (L - P)}$