Calcul infinitésimal Exemples

$| \frac{1 - 2 x}{x} | = 3 x$

Étape 1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$\frac{1 - 2 x}{x} = \pm 3 x$

Étape 2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\frac{1 - 2 x}{x} = 3 x$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1$

Étape 2.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1 - 2 x}{x} = 3 x$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1 - 2 x}{x} = 3 x$ par $x$ .

$\frac{1 - 2 x}{x} x = 3 x \cdot x$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - 2 x}{x} x = 3 x \cdot x$

Étape 2.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 - 2 x = 3 x \cdot x$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.1.1

Déplacez $x$ .

$1 - 2 x = 3 (x \cdot x)$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 - 2 x = 3 x^{2}$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$1 - 2 x - 3 x^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $1 - 2 x - 3 x^{2}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 2.4.2.1.1.1

Déplacez $1$ .

$- 2 x - 3 x^{2} + 1 = 0$

Étape 2.4.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $- 2 x$ et $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Étape 2.4.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) - 2 x + 1 = 0$

Étape 2.4.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$- (3 x^{2}) - (2 x) + 1 = 0$

Étape 2.4.2.1.4

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2}) - (2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 2.4.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (2 x)$ .

$- (3 x^{2} + 2 x) - 1 \cdot - 1 = 0$

Étape 2.4.2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2} + 2 x) - 1 (- 1)$ .

$- (3 x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Étape 2.4.2.2

Factorisez.

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Étape 2.4.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.4.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 2.4.2.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$- (3 x^{2} + 2 (x) - 1) = 0$

Étape 2.4.2.2.1.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 1$ plus $3$

$- (3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1) = 0$

Étape 2.4.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1) = 0$

Étape 2.4.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.4.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- ((3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1) = 0$

Étape 2.4.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1)) = 0$

Étape 2.4.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$- ((3 x - 1) (x + 1)) = 0$

Étape 2.4.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (3 x - 1) (x + 1) = 0$

Étape 2.4.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 2.4.4

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.4.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 2.4.4.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 2.4.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.4.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 2.4.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 2.4.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 2.4.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.4.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.4.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (3 x - 1) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Étape 2.5

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\frac{1 - 2 x}{x} = - 3 x$

Étape 2.6

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.6.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1$

Étape 2.6.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 2.7

Multiplier chaque terme dans $\frac{1 - 2 x}{x} = - 3 x$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.7.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1 - 2 x}{x} = - 3 x$ par $x$ .

$\frac{1 - 2 x}{x} x = - 3 x \cdot x$

Étape 2.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.7.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - 2 x}{x} x = - 3 x \cdot x$

Étape 2.7.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 - 2 x = - 3 x \cdot x$

Étape 2.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.7.3.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.7.3.1.1

Déplacez $x$ .

$1 - 2 x = - 3 (x \cdot x)$

Étape 2.7.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$1 - 2 x = - 3 x^{2}$

Étape 2.8

Résolvez l’équation.

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Étape 2.8.1

Ajoutez $3 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$1 - 2 x + 3 x^{2} = 0$

Étape 2.8.2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.8.3

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = - 2$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.4

Simplifiez

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Étape 2.8.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Étape 2.8.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.4.1.2.2

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.4.1.3

Soustrayez $12$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 8}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.4.1.4

Réécrivez $- 8$ comme $- 1 (8)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (8)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{8}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.4.1.7

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 2.8.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{2})}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{2 \cdot 3}$

Étape 2.8.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$

Étape 2.8.4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{2}}{6}$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{2}}{3}$

Étape 2.8.5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$

Étape 2.9

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{1}{3}, - 1, \frac{1 + i \sqrt{2}}{3}, \frac{1 - i \sqrt{2}}{3}$