Calcul infinitésimal Exemples

$\log (w) + \log (3 w - 13) = 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (w (3 w - 13)) = 1$

Étape 1.2

Simplifiez en multipliant.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\log (w (3 w) + w \cdot - 13) = 1$

Étape 1.2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 1.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\log (3 w \cdot w + w \cdot - 13) = 1$

Étape 1.2.2.2

Déplacez $- 13$ à gauche de $w$ .

$\log (3 w \cdot w - 13 \cdot w) = 1$

Étape 1.3

Multipliez $w$ par $w$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.1

Déplacez $w$ .

$\log (3 (w \cdot w) - 13 \cdot w) = 1$

Étape 1.3.2

Multipliez $w$ par $w$ .

$\log (3 w^{2} - 13 \cdot w) = 1$

$\log (3 w^{2} - 13 w) = 1$

Étape 2

Réécrivez $\log (3 w^{2} - 13 w) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 3 w^{2} - 13 w$

Étape 3

Résolvez $w$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $3 w^{2} - 13 w = 10^{1}$ .

$3 w^{2} - 13 w = 10$

Étape 3.2

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$3 w^{2} - 13 w - 10 = 0$

Étape 3.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 10 = - 30$ et dont la somme est $b = - 13$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $- 13$ à partir de $- 13 w$ .

$3 w^{2} - 13 w - 10 = 0$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez $- 13$ comme $2$ plus $- 15$

$3 w^{2} + (2 - 15) w - 10 = 0$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 w^{2} + 2 w - 15 w - 10 = 0$

Étape 3.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 w^{2} + 2 w) - 15 w - 10 = 0$

Étape 3.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$w (3 w + 2) - 5 (3 w + 2) = 0$

Étape 3.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 w + 2$ .

$(3 w + 2) (w - 5) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 w + 2 = 0$

$w - 5 = 0$

Étape 3.5

Définissez $3 w + 2$ égal à $0$ et résolvez $w$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $3 w + 2$ égal à $0$ .

$3 w + 2 = 0$

Étape 3.5.2

Résolvez $3 w + 2 = 0$ pour $w$ .

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Étape 3.5.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$3 w = - 2$

Étape 3.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 w = - 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 w = - 2$ par $3$ .

$\frac{3 w}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 3.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 w}{3} = \frac{- 2}{3}$

Étape 3.5.2.2.2.1.2

Divisez $w$ par $1$ .

$w = \frac{- 2}{3}$

Étape 3.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$w = - \frac{2}{3}$

Étape 3.6

Définissez $w - 5$ égal à $0$ et résolvez $w$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $w - 5$ égal à $0$ .

$w - 5 = 0$

Étape 3.6.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$w = 5$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 w + 2) (w - 5) = 0$ vraie.

$w = - \frac{2}{3}, 5$

Étape 4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log (w) + \log (3 w - 13) = 1$ vrai.

$w = 5$