Calcul infinitésimal Exemples

${(\frac{3}{4})}^{x} = 8^{1 - x}$

Étape 1

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln ({(\frac{3}{4})}^{x}) = \ln (8^{1 - x})$

Étape 2

Développez $\ln ({(\frac{3}{4})}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (\frac{3}{4}) = \ln (8^{1 - x})$

Étape 3

Réécrivez $\ln (\frac{3}{4})$ comme $\ln (3) - \ln (4)$ .

$x (\ln (3) - \ln (4)) = \ln (8^{1 - x})$

Étape 4

Réécrivez $\ln (4)$ comme $\ln (2^{2})$ .

$x (\ln (3) - \ln (2^{2})) = \ln (8^{1 - x})$

Étape 5

Développez $\ln (2^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$x (\ln (3) - (2 \ln (2))) = \ln (8^{1 - x})$

Étape 6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = \ln (8^{1 - x})$

Étape 7

Développez $\ln (8^{1 - x})$ en déplaçant $1 - x$ hors du logarithme.

$x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = (1 - x) \ln (8)$

Étape 8

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 8.1

Simplifiez $x (\ln (3) - 2 \ln (2))$ .

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Étape 8.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = (1 - x) \ln (8)$

Étape 8.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$x (\ln (3) - 2 \ln (2)) = (1 - x) \ln (8)$

Étape 8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (3) + x (- 2 \ln (2)) = (1 - x) \ln (8)$

Étape 8.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) = (1 - x) \ln (8)$

Étape 8.2

Simplifiez $(1 - x) \ln (8)$ .

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Étape 8.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) = 1 \ln (8) - x \ln (8)$

Étape 8.2.2

Multipliez $\ln (8)$ par $1$ .

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) = \ln (8) - x \ln (8)$

Étape 8.3

Ajoutez $x \ln (8)$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (3) - 2 x \ln (2) + x \ln (8) = \ln (8)$

Étape 8.4

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (3) - 2 x \ln (2) + x \ln (8)$ .

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Étape 8.4.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (3)$ .

$x (\ln (3)) - 2 x \ln (2) + x \ln (8) = \ln (8)$

Étape 8.4.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 x \ln (2)$ .

$x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2)) + x \ln (8) = \ln (8)$

Étape 8.4.3

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (8)$ .

$x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2)) + x (\ln (8)) = \ln (8)$

Étape 8.4.4

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (3)) + x (- 2 \ln (2))$ .

$x (\ln (3) - 2 \ln (2)) + x (\ln (8)) = \ln (8)$

Étape 8.4.5

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (3) - 2 \ln (2)) + x (\ln (8))$ .

$x (\ln (3) - 2 \ln (2) + \ln (8)) = \ln (8)$

Étape 8.5

Divisez chaque terme dans $x (\ln (3) - 2 \ln (2) + \ln (8)) = \ln (8)$ par $\ln (3) - 2 \ln (2) + \ln (8)$ et simplifiez.

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Étape 8.5.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (3) - 2 \ln (2) + \ln (8)) = \ln (8)$ par $\ln (3) - 2 \ln (2) + \ln (8)$ .

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2) + \ln (8))}{\ln (3) - 2 \ln (2) + \ln (8)} = \frac{\ln (8)}{\ln (3) - 2 \ln (2) + \ln (8)}$

Étape 8.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.5.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3) - 2 \ln (2) + \ln (8)$ .

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Étape 8.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (3) - 2 \ln (2) + \ln (8))}{\ln (3) - 2 \ln (2) + \ln (8)} = \frac{\ln (8)}{\ln (3) - 2 \ln (2) + \ln (8)}$

Étape 8.5.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (8)}{\ln (3) - 2 \ln (2) + \ln (8)}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{\ln (8)}{\ln (3) - 2 \ln (2) + \ln (8)}$

Forme décimale :

$x = 1.16055842 \dots$