Calcul infinitésimal Exemples

${(\sin (π x) + \cos (π y))}^{2} = 2$

Étape 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (π x) + \cos (π y) = \pm \sqrt{2}$

Étape 2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sin (π x) + \cos (π y) = \sqrt{2}$

Étape 2.2

Soustrayez $\cos (π y)$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (π x) = \sqrt{2} - \cos (π y)$

Étape 2.3

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{2} - \cos (π y) = \sin (π x)$ .

$\sqrt{2} - \cos (π y) = \sin (π x)$

Étape 2.4

Soustrayez $\sqrt{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- \cos (π y) = \sin (π x) - \sqrt{2}$

Étape 2.5

Divisez chaque terme dans $- \cos (π y) = \sin (π x) - \sqrt{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.5.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (π y) = \sin (π x) - \sqrt{2}$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (π y)}{- 1} = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (π y)}{1} = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Étape 2.5.2.2

Divisez $\cos (π y)$ par $1$ .

$\cos (π y) = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sin (π x)}{- 1}$ .

$\cos (π y) = - 1 \cdot \sin (π x) + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Étape 2.5.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sin (π x)$ comme $- \sin (π x)$ .

$\cos (π y) = - \sin (π x) + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Étape 2.5.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cos (π y) = - \sin (π x) + \frac{\sqrt{2}}{1}$

Étape 2.5.3.1.4

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\cos (π y) = - \sin (π x) + \sqrt{2}$

Étape 2.6

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$π y = \arccos (- \sin (π x) + \sqrt{2})$

Étape 2.7

Réécrivez l’équation comme $\arccos (- \sin (π x) + \sqrt{2}) = π y$ .

$\arccos (- \sin (π x) + \sqrt{2}) = π y$

Étape 2.8

Prenez l’arc cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $\sin (π x)$ de l’intérieur de l’arc cosinus.

$- \sin (π x) + \sqrt{2} = \cos (π y)$

Étape 2.9

Soustrayez $\sqrt{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- \sin (π x) = \cos (π y) - \sqrt{2}$

Étape 2.10

Divisez chaque terme dans $- \sin (π x) = \cos (π y) - \sqrt{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.10.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (π x) = \cos (π y) - \sqrt{2}$ par $- 1$ .

$\frac{- \sin (π x)}{- 1} = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Étape 2.10.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.10.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (π x)}{1} = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Étape 2.10.2.2

Divisez $\sin (π x)$ par $1$ .

$\sin (π x) = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Étape 2.10.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.10.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\cos (π y)}{- 1}$ .

$\sin (π x) = - 1 \cdot \cos (π y) + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Étape 2.10.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \cos (π y)$ comme $- \cos (π y)$ .

$\sin (π x) = - \cos (π y) + \frac{- \sqrt{2}}{- 1}$

Étape 2.10.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\sin (π x) = - \cos (π y) + \frac{\sqrt{2}}{1}$

Étape 2.10.3.1.4

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sin (π x) = - \cos (π y) + \sqrt{2}$

Étape 2.11

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$π x = \arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})$

Étape 2.12

Divisez chaque terme dans $π x = \arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})$ par $π$ et simplifiez.

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Étape 2.12.1

Divisez chaque terme dans $π x = \arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})$ par $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})}{π}$

Étape 2.12.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.12.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 2.12.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{π} = \frac{\arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})}{π}$

Étape 2.12.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})}{π}$

Étape 2.13

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sin (π x) + \cos (π y) = - \sqrt{2}$

Étape 2.14

Soustrayez $\cos (π y)$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (π x) = - \sqrt{2} - \cos (π y)$

Étape 2.15

Réécrivez l’équation comme $- \sqrt{2} - \cos (π y) = \sin (π x)$ .

$- \sqrt{2} - \cos (π y) = \sin (π x)$

Étape 2.16

Ajoutez $\sqrt{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$- \cos (π y) = \sin (π x) + \sqrt{2}$

Étape 2.17

Divisez chaque terme dans $- \cos (π y) = \sin (π x) + \sqrt{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.17.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (π y) = \sin (π x) + \sqrt{2}$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (π y)}{- 1} = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Étape 2.17.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.17.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (π y)}{1} = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Étape 2.17.2.2

Divisez $\cos (π y)$ par $1$ .

$\cos (π y) = \frac{\sin (π x)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Étape 2.17.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.17.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.17.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sin (π x)}{- 1}$ .

$\cos (π y) = - 1 \cdot \sin (π x) + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Étape 2.17.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \sin (π x)$ comme $- \sin (π x)$ .

$\cos (π y) = - \sin (π x) + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Étape 2.17.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$\cos (π y) = - \sin (π x) - 1 \cdot \sqrt{2}$

Étape 2.17.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{2}$ comme $- \sqrt{2}$ .

$\cos (π y) = - \sin (π x) - \sqrt{2}$

Étape 2.18

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$π y = \arccos (- \sin (π x) - \sqrt{2})$

Étape 2.19

Réécrivez l’équation comme $\arccos (- \sin (π x) - \sqrt{2}) = π y$ .

$\arccos (- \sin (π x) - \sqrt{2}) = π y$

Étape 2.20

Prenez l’arc cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $\sin (π x)$ de l’intérieur de l’arc cosinus.

$- \sin (π x) - \sqrt{2} = \cos (π y)$

Étape 2.21

Ajoutez $\sqrt{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$- \sin (π x) = \cos (π y) + \sqrt{2}$

Étape 2.22

Divisez chaque terme dans $- \sin (π x) = \cos (π y) + \sqrt{2}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.22.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (π x) = \cos (π y) + \sqrt{2}$ par $- 1$ .

$\frac{- \sin (π x)}{- 1} = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Étape 2.22.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.22.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (π x)}{1} = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Étape 2.22.2.2

Divisez $\sin (π x)$ par $1$ .

$\sin (π x) = \frac{\cos (π y)}{- 1} + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Étape 2.22.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.22.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.22.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\cos (π y)}{- 1}$ .

$\sin (π x) = - 1 \cdot \cos (π y) + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Étape 2.22.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \cos (π y)$ comme $- \cos (π y)$ .

$\sin (π x) = - \cos (π y) + \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Étape 2.22.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$\sin (π x) = - \cos (π y) - 1 \cdot \sqrt{2}$

Étape 2.22.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot \sqrt{2}$ comme $- \sqrt{2}$ .

$\sin (π x) = - \cos (π y) - \sqrt{2}$

Étape 2.23

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$π x = \arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})$

Étape 2.24

Divisez chaque terme dans $π x = \arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})$ par $π$ et simplifiez.

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Étape 2.24.1

Divisez chaque terme dans $π x = \arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})$ par $π$ .

$\frac{π x}{π} = \frac{\arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})}{π}$

Étape 2.24.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.24.2.1

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 2.24.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π x}{π} = \frac{\arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})}{π}$

Étape 2.24.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})}{π}$

Étape 2.25

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})}{π}$

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})}{π}$

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) + \sqrt{2})}{π}$

$x = \frac{\arcsin (- \cos (π y) - \sqrt{2})}{π}$